ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 867 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\(\frac{2b}{b^2+1} — \frac{1-b}{b^2+1} = \frac{4}{b^2-b+1}\)

\(\frac{2b}{b^{3}+1} — \frac{1-b}{b^{2}-b+1} + \frac{2}{b-1} \cdot \frac{b^{2}-2b+1}{4} \cdot \frac{b-1}{b+1} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{2b}{(b+1)(b^{2}-b+1)} — \frac{2(b+1)}{(b+1)(1-b)} \cdot \frac{(b-1)(b+1)}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{2b-2-(1-b)(b+1)}{(b+1)(1-b)} \cdot \frac{(b+1)(1-b)}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{2b-2-(1-b)(b+1)}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{2b-2-(b+1-b^{2}-b)}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{2b-2-b-1+b^{2}+b}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{b^{2}+2b-3}{4} = \frac{1}{2}\)

\(b^{2}+2b-3 = 2\)

\(b^{2}+2b-5 = 0\)

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим выражение: \(\frac{2b}{b^{3}+1} — \frac{1-b}{b^{2}-b+1} + \frac{2}{b-1} \cdot \frac{b^{2}-2b+1}{4} \cdot \frac{b-1}{b+1}\). Заметим, что знаменатель первого дробного выражения можно разложить на множители: \(b^{3}+1 = (b+1)(b^{2}-b+1)\). Второй знаменатель уже записан как \(b^{2}-b+1\). Третий множитель \(\frac{b^{2}-2b+1}{4}\) можно упростить, так как \(b^{2}-2b+1 = (b-1)^{2}\). Также учтём, что \(\frac{b-1}{b+1}\) и \(\frac{2}{b-1}\) можно сократить, если перемножить.

Приведём все дроби к общему знаменателю. Первый член преобразуем: \(\frac{2b}{(b+1)(b^{2}-b+1)}\). Второй член домножим числитель и знаменатель на \(b+1\) для общего знаменателя: \(\frac{1-b}{b^{2}-b+1} = \frac{(1-b)(b+1)}{(b+1)(b^{2}-b+1)}\). Третий член: \(\frac{2}{b-1} \cdot \frac{(b-1)^{2}}{4} \cdot \frac{b-1}{b+1} = \frac{2}{b-1} \cdot \frac{(b-1)^{3}}{4(b+1)} = \frac{2(b-1)^{3}}{4(b-1)(b+1)} = \frac{(b-1)^{2}}{2(b+1)}\).

Теперь сложим все выражения: \(\frac{2b — (1-b)(b+1)}{(b+1)(b^{2}-b+1)} + \frac{(b-1)^{2}}{2(b+1)}\). Раскроем скобки во втором члене: \(2b — (1-b)(b+1) = 2b — (b+1-b^{2}-b) = 2b — (1-b^{2}) = 2b — 1 + b^{2}\). Получаем: \(\frac{b^{2}+2b-1}{(b+1)(b^{2}-b+1)} + \frac{(b-1)^{2}}{2(b+1)}\).

Домножим второй член на \(\frac{b^{2}-b+1}{b^{2}-b+1}\) для общего знаменателя: \(\frac{(b-1)^{2}(b^{2}-b+1)}{2(b+1)(b^{2}-b+1)}\). Теперь сложим дроби: \(\frac{b^{2}+2b-1 + \frac{1}{2}(b-1)^{2}(b^{2}-b+1)}{(b+1)(b^{2}-b+1)}\). Преобразуем числитель: \(b^{2}+2b-1 + \frac{1}{2}(b-1)^{2}(b^{2}-b+1)\). Раскроем скобки: \((b-1)^{2}(b^{2}-b+1) = (b^{2}-2b+1)(b^{2}-b+1)\). Перемножим: \(b^{2}(b^{2}-b+1) — 2b(b^{2}-b+1) + 1(b^{2}-b+1)\). Получаем \(b^{4}-b^{3}+b^{2}-2b^{3}+2b^{2}-2b+b^{2}-b+1\). Сложим подобные: \(b^{4}-3b^{3}+4b^{2}-3b+1\).

Теперь числитель: \(b^{2}+2b-1 + \frac{1}{2}(b^{4}-3b^{3}+4b^{2}-3b+1)\). Преобразуем: \(b^{2}+2b-1 + \frac{1}{2}b^{4} — \frac{3}{2}b^{3} + 2b^{2} — \frac{3}{2}b + \frac{1}{2}\). Сложим: \(\frac{1}{2}b^{4} — \frac{3}{2}b^{3} + 3b^{2} + \frac{1}{2}b — \frac{1}{2}\).

Равенство должно быть равно \(\frac{1}{2}\). Приравниваем: \(\frac{\frac{1}{2}b^{4} — \frac{3}{2}b^{3} + 3b^{2} + \frac{1}{2}b — \frac{1}{2}}{(b+1)(b^{2}-b+1)} = \frac{1}{2}\). Перемножим крест-накрест: \(\frac{1}{2}b^{4} — \frac{3}{2}b^{3} + 3b^{2} + \frac{1}{2}b — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(b+1)(b^{2}-b+1)\). Раскроем скобки справа: \(\frac{1}{2}(b^{3}-b^{2}+b+b^{2}-b+1) = \frac{1}{2}(b^{3}+b+1)\).

Перенесём всё в одну сторону: \(\frac{1}{2}b^{4} — \frac{3}{2}b^{3} + 3b^{2} + \frac{1}{2}b — \frac{1}{2} — \frac{1}{2}b^{3} — \frac{1}{2}b — \frac{1}{2} = 0\). Сложим подобные: \(\frac{1}{2}b^{4} — 2b^{3} + 3b^{2} = 0\).

Получили уравнение: \(\frac{1}{2}b^{4} — 2b^{3} + 3b^{2} = 0\).