ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 876 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Геометрическая прогрессия \((b_n)\) задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = 10 \cdot 3^{n-1}\). Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии \(b_n = 10 \cdot 3^{n-1}\) находится по формуле суммы \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\), где \(q = 3\), \(b_1 = 10\), \(n = 5\). Подставим значения: \(S_5 = 10 \cdot \frac{3^5 — 1}{3 — 1} = 10 \cdot \frac{243 — 1}{2} = 10 \cdot 121 = 1210\). Ответ: 1210.

1) Первый член прогрессии задан формулой \(b_n = 10 \cdot 3^{n-1}\). Для \(n = 1\) получаем \(b_1 = 10 \cdot 3^{1-1} = 10 \cdot 3^0 = 10 \cdot 1 = 10\). Таким образом, первый член прогрессии равен 10.

2) Найдем знаменатель прогрессии \(q\). Знаменатель геометрической прогрессии определяется как отношение следующего члена к предыдущему, то есть \(q = \frac{b_{n+1}}{b_n}\). Подставим формулу: \(b_{n+1} = 10 \cdot 3^{(n+1)-1} = 10 \cdot 3^n\), а \(b_n = 10 \cdot 3^{n-1}\). Тогда \(q = \frac{10 \cdot 3^n}{10 \cdot 3^{n-1}} = 3^{n — (n-1)} = 3^1 = 3\). Знаменатель прогрессии равен 3.

3) Сумма первых пяти членов прогрессии вычисляется по формуле суммы геометрической прогрессии: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). У нас \(b_1 = 10\), \(q = 3\), \(n = 5\). Подставим значения: сначала вычислим \(q^n = 3^5 = 243\), затем \(q^n — 1 = 243 — 1 = 242\), и знаменатель \(q — 1 = 3 — 1 = 2\). Теперь \(S_5 = 10 \cdot \frac{242}{2} = 10 \cdot 121 = 1210\). Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна 1210.

Ответ: 1210.