ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 878 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Знаменатель геометрической прогрессии равен \(-\), а сумма четырёх первых членов равна \(65\). Найдите первый член прогрессии.

Дана прогрессия:
\( q = \frac{2}{3}, \quad S_4 = 65; \)

Найдём первый член:
\( S_4 = \frac{b_1 (1 — q^4)}{1 — q} = 65; \)
\( b_1 \left(1 — \frac{16}{81}\right) \div \left(1 — \frac{2}{3}\right) = 65; \)
\( b_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = 65; \)
\( b_1 = \frac{65 \cdot 81}{65 \cdot 3} = 27; \)

Ответ: 27.

1. Дана прогрессия:
\( q = \frac{2}{3}, \quad S_4 = 65; \)

2. Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии выражается формулой:
\( S_4 = \frac{b_1 (1 — q^4)}{1 — q} \)

3. Подставим известные значения:
\( 65 = \frac{b_1 (1 — \left(\frac{2}{3}\right)^4)}{1 — \frac{2}{3}} \)

4. Вычислим степень:
\( \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \)

5. Подставим полученное значение в формулу:
\( 65 = \frac{b_1 (1 — \frac{16}{81})}{1 — \frac{2}{3}} \)

6. Вычислим числитель в скобках:
\( 1 — \frac{16}{81} = \frac{81}{81} — \frac{16}{81} = \frac{65}{81} \)

7. Вычислим знаменатель:
\( 1 — \frac{2}{3} = \frac{3}{3} — \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

8. Подставим эти значения обратно:
\( 65 = \frac{b_1 \cdot \frac{65}{81}}{\frac{1}{3}} = b_1 \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 \)

9. Упростим выражение:
\( 65 = b_1 \cdot \frac{195}{81} \)

10. Найдём \( b_1 \):
\( b_1 = \frac{65 \cdot 81}{195} = \frac{65 \cdot 81}{65 \cdot 3} = 27 \)

Ответ: 27.