ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 880 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

(Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Войтяховского.) Воину дана награда: за первую рану \(1\) к., за вторую — \(2\) к., за третью — \(4\) к. и т. д. После подсчёта оказалось, что воин получил награду в сумме \(655\) р. \(35\) к. Спрашивается количество его ран.

Сумма наград воина представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член \(b_1 = 1\), а знаменатель \(q = 2\). Общая сумма наград равна \(655 \, \text{р.} \, 35 \, \text{к.} = 65535 \, \text{к.}\). Формула суммы геометрической прогрессии: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставляем значения: \(S_n = 1 \cdot \frac{2^n — 1}{2 — 1} = 2^n — 1\). Уравнение принимает вид \(2^n — 1 = 65535\), откуда \(2^n = 65536\). Так как \(65536 = 2^{16}\), то \(n = 16\). Ответ: 16 ран.

1. Давайте разберем задачу о награде воина, который получает деньги за каждую рану в геометрической прогрессии. За первую рану он получает \(1\) копейку, за вторую — \(2\) копейки, за третью — \(4\) копейки и так далее. Нам известно, что общая сумма наград составила \(655\) рублей \(35\) копеек, и требуется найти количество ран, которые получил воин.

2. Прежде всего, переведем сумму наград в копейки, чтобы упростить расчеты. Из условия задачи следует, что \(1\) рубль равен \(100\) копейкам, поэтому \(655\) рублей — это \(655 \cdot 100 = 65500\) копеек. Добавим к этому \(35\) копеек, и получим общую сумму наград: \(65500 + 35 = 65535\) копеек.

3. Теперь обратим внимание на структуру наград. Сумма, получаемая за каждую последующую рану, увеличивается в два раза по сравнению с предыдущей. Это означает, что награды образуют геометрическую прогрессию, где первый член прогрессии (награда за первую рану) равен \(b_1 = 1\) копейке, а знаменатель прогрессии (коэффициент увеличения) равен \(q = 2\).

4. Для нахождения суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии используется формула: \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим известные значения \(b_1 = 1\) и \(q = 2\) в эту формулу. Получаем: \(S_n = 1 \cdot \frac{2^n — 1}{2 — 1} = 2^n — 1\). Таким образом, сумма наград за \(n\) ран равна \(2^n — 1\) копеек.

5. Согласно условию задачи, сумма наград равна \(65535\) копеек. Составим уравнение: \(2^n — 1 = 65535\). Чтобы найти \(n\), прибавим \(1\) к обеим частям уравнения: \(2^n = 65536\).

6. Теперь нам нужно определить, какая степень двойки равна \(65536\). Рассмотрим степени двойки: \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\), \(2^7 = 128\), \(2^8 = 256\), \(2^9 = 512\), \(2^{10} = 1024\), \(2^{11} = 2048\), \(2^{12} = 4096\), \(2^{13} = 8192\), \(2^{14} = 16384\), \(2^{15} = 32768\), \(2^{16} = 65536\).

7. Мы видим, что \(2^{16} = 65536\). Следовательно, \(n = 16\). Это означает, что воин получил награду за \(16\) ран.

8. Проверим наше решение. Если \(n = 16\), то сумма наград равна \(2^{16} — 1 = 65536 — 1 = 65535\) копеек, что точно совпадает с заданной суммой в \(65535\) копеек. Таким образом, наше решение подтверждено.

9. Переведем сумму обратно в рубли и копейки для полноты картины. \(65535\) копеек делим на \(100\): \(65535 \div 100 = 655\) рублей и \(35\) копеек остатка, что соответствует условию задачи.

10. Итак, количество ран, полученных воином, равно \(16\). Ответ: \(16\) ран.