ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 894 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \((a — b)^2 + 16a^2\), если \(a < 0\) и \(b > 0\);

2) \((x — y)^2 — 19y^2\), если \(x > 0\) и \(y < 0\).

1) \((a — b)^2 + 16a^2 = (a^2 — 2ab + b^2) + 16a^2 = 17a^2 — 2ab + b^2\). Учитывая условия \(a < 0\) и \(b > 0\), преобразуем через модули: \(|a — b| + 4|a| = (b — a) + 4(-a) = b — a — 4a = b — 5a\). Ответ: \(b — 5a\).

2) \((x — y)^2 — 19y^2 = (x^2 — 2xy + y^2) — 19y^2 = x^2 — 2xy — 18y^2\). Учитывая условия \(x > 0\) и \(y < 0\), преобразуем через модули: \(|x — y| — 3|y| = (x — y) + 3y = x + 2y\). Ответ: \(x + 2y\).

1) Рассмотрим выражение \((a — b)^2 + 16a^2\). Наша задача — упростить его с учетом условий \(a < 0\) и \(b > 0\). Начнем с раскрытия скобок. Квадрат разности \((a — b)^2\) равен \(a^2 — 2ab + b^2\). Теперь прибавим к этому \(16a^2\), что дает нам \(a^2 — 2ab + b^2 + 16a^2\). Сложим одноименные члены: \(a^2 + 16a^2 = 17a^2\), а остальные слагаемые остаются без изменений. Таким образом, выражение принимает вид \(17a^2 — 2ab + b^2\).

Теперь учтем условия на знаки переменных. Поскольку \(a < 0\), то \(|a| = -a\), а так как \(b > 0\), то \(|b| = b\). Выражение \(|a — b|\) нужно рассмотреть отдельно. Так как \(a < 0\) и \(b > 0\), то \(a — b < 0\), следовательно, \(|a — b| = -(a — b) = b — a\). Также заметим, что \(16a^2 = (4a)^2\), а поскольку \(a < 0\), то \(4a < 0\), и \(|4a| = -4a\). Таким образом, выражение можно переписать как \(|a — b| + |4a| = (b — a) + (-4a) = b — a — 4a = b — 5a\).

Итак, после всех преобразований мы получаем результат \(b — 5a\). Это и есть упрощенное выражение с учетом заданных условий. Ответ: \(b — 5a\).

2) Перейдем ко второму выражению \((x — y)^2 — 19y^2\). Нам нужно упростить его при условиях \(x > 0\) и \(y < 0\). Сначала раскроем скобки. Квадрат разности \((x — y)^2\) равен \(x^2 — 2xy + y^2\). Теперь вычтем из этого \(19y^2\), что дает нам \(x^2 — 2xy + y^2 — 19y^2\). Сложим одноименные члены: \(y^2 — 19y^2 = -18y^2\). Таким образом, выражение принимает вид \(x^2 — 2xy — 18y^2\).

Учтем условия на знаки переменных. Поскольку \(x > 0\), то \(|x| = x\), а так как \(y < 0\), то \(|y| = -y\). Выражение \(|x — y|\) рассмотрим с учетом знаков. Так как \(x > 0\) и \(y < 0\), то \(x — y > 0\), следовательно, \(|x — y| = x — y\). Также рассмотрим слагаемое с \(y\). Мы можем заметить, что \(9y^2 = (3y)^2\), а поскольку \(y < 0\), то \(3y < 0\), и \(|3y| = -3y\). Таким образом, выражение можно переписать как \(|x — y| — 3|y| = (x — y) + 3y = x — y + 3y = x + 2y\).

Итак, после всех преобразований мы получаем результат \(x + 2y\). Это и есть упрощенное выражение с учетом заданных условий. Ответ: \(x + 2y\).