ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 913 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(1 + x + x^2 + \dots = 4\), если \(|x| < 1\); 2) \(1 - x + x^2 - \dots = 1,5\), если \(|x| > 1\).

Решить уравнение:

1) \(1 + x + x^2 + \cdots = 4, |x| < 1;\) \(b_1 = 1, q = x, S = \frac{1}{1-x} = 4;\) \(4 - 4x = 1, \quad 4x = 3, \quad x = \frac{3}{4};\) Ответ: \(\frac{3}{4}\). 2) \(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \cdots = 1,5, \quad |x| > 1;\)

\(b_1 = 1, q = -\frac{1}{x}, S = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3}{2};\)

\(2 = 3 + \frac{3}{x} — \frac{3}{x} — 1, \quad x = -3;\)

Ответ: \(-3\).

1) Дано уравнение \(1 + x + x^2 + \cdots = 4\), при условии \(|x| < 1\). Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = 1\) и знаменателем \(q = x\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Подставим известные значения: \(S = \frac{1}{1 - x} = 4\). Умножим обе части уравнения на \(1 - x\): \(1 = 4(1 - x)\). Раскроем скобки: \(1 = 4 - 4x\). Перенесём 4 в левую часть: \(1 - 4 = -4x\). Получаем: \(-3 = -4x\), откуда \(4x = 3\). Разделим обе части на 4: \(x = \frac{3}{4}\). Ответ: \(\frac{3}{4}\). 2) Дано уравнение \(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \cdots = 1,5\), при условии \(|x| > 1\).

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = 1\) и знаменателем \(q = -\frac{1}{x}\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q| < 1\) вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Подставим известные значения: \(S = \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}\). По условию \(S = 1,5 = \frac{3}{2}\). Приравняем: \(\frac{x}{x+1} = \frac{3}{2}\). Перемножим крест-накрест: \(2x = 3(x + 1)\). Раскроем скобки: \(2x = 3x + 3\). Перенесём \(3x\) в левую часть: \(2x - 3x = 3\). Получаем: \(-x = 3\), откуда \(x = -3\). Ответ: \(-3\).