ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 914 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение \(1 — x^2 + x^4 — \dots = -\frac{1}{3}\), если \(|x| < 1\).

\(1 — x^2 + x^4 — \cdots = \frac{16}{17}, \quad |x| < 1;\) \(b_1 = 1, \quad q = -x^2, \quad S = \frac{1}{1 + x^2} = \frac{16}{17};\) \(17 = 16 + 16x^2, \quad 16x^2 = 1;\) \(x^2 = \frac{1}{16}, \quad x = \pm \frac{1}{4};\) Ответ: \(\frac{1}{4}; \quad -\frac{1}{4}\)

Рассмотрим бесконечный ряд \(1 — x^2 + x^4 — x^6 + \cdots\), который является геометрической прогрессией с первым членом \(b_1 = 1\) и знаменателем \(q = -x^2\). Для сходимости этого ряда необходимо, чтобы модуль знаменателя был меньше единицы, то есть \(|q| = |x|^2 < 1\), что эквивалентно условию \(|x| < 1\). Сумма бесконечного геометрического ряда при этом вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}\). В условии задачи дано, что сумма ряда равна \(\frac{16}{17}\). Подставим это значение в формулу суммы: \(\frac{1}{1 + x^2} = \frac{16}{17}\). Теперь решим это уравнение относительно \(x^2\). Перемножая крест-накрест, получаем \(17 = 16(1 + x^2)\), что раскрывается как \(17 = 16 + 16x^2\). Переносим 16 в левую часть: \(17 - 16 = 16x^2\), следовательно, \(1 = 16x^2\). Делим обе части уравнения на 16 и получаем \(x^2 = \frac{1}{16}\). Из этого следует, что \(x = \pm \frac{1}{4}\), так как квадратный корень из \(\frac{1}{16}\) равен \(\frac{1}{4}\). Эти значения удовлетворяют условию \(|x| < 1\), поэтому оба решения корректны. Таким образом, ответ задачи: \(x = \frac{1}{4}\) или \(x = -\frac{1}{4}\).