ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 932 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a < b < 2\), то \(a^2b + 2b^2 + 4a < ab^2 + 2a^2 + 4b\).

\(a^{2}b + 2b^{2} + 4a < ab^{2} + 2a^{2} + 4b\)

\(a^{2}b — ab^{2} + 4a — 4b + 2b^{2} — 2a^{2} < 0\)

\(ab(a-b) + 4(a-b) — 2(a^{2} — b^{2}) < 0\)

\((a-b)(ab + 4) — 2(a-b)(a+b) < 0\)

\((a-b)(ab + 4 — 2a — 2b) < 0\)

\((a-b)(a(b-2) — 2(b-2)) < 0\)

\((a-b)(a-2)(b-2) < 0\)

\(a < b < 2\)

Что и требовалось доказать.

1. Перенесём все члены в одну часть неравенства:
\(a^{2}b + 2b^{2} + 4a — ab^{2} — 2a^{2} — 4b < 0\)

2. Группируем похожие члены:
\(a^{2}b — ab^{2} + 2b^{2} — 2a^{2} + 4a — 4b < 0\)

3. Выносим общие множители:
\(a^{2}b — ab^{2} = ab(a-b)\)
\(2b^{2} — 2a^{2} = 2(b^{2} — a^{2}) = 2(b-a)(b+a)\)
\(4a — 4b = 4(a-b)\)

4. Подставляем найденные выражения:
\(ab(a-b) + 2(b-a)(b+a) + 4(a-b) < 0\)

5. Заметим, что \(2(b-a)(b+a) = -2(a-b)(a+b)\), поэтому:
\(ab(a-b) + 4(a-b) — 2(a-b)(a+b) < 0\)

6. Выносим общий множитель \((a-b)\):
\((a-b)(ab + 4 — 2(a+b)) < 0\)

7. Упрощаем выражение в скобках:
\(ab + 4 — 2a — 2b = a(b-2) — 2(b-2)\)

8. Получаем:
\((a-b)(a(b-2) — 2(b-2)) < 0\)

9. Выносим \((b-2)\):
\(a(b-2) — 2(b-2) = (b-2)(a-2)\)

10. Итоговое выражение:
\((a-b)(a-2)(b-2) < 0\)

При \(a < b < 2\) все три множителя отрицательны, значит произведение отрицательно. Что и требовалось доказать.