ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 935 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 5\) и \(b < -2\), то:

1) \(3a — b > 17\);

2) \(5b — 2a < -10\).

1) \(a > 5\), \(b < -2\)

\(3a > 15\), \(-b > 2\)

\(3a — b > 15 + 2 = 17\)

Неравенство доказано.

2) \(a > 5\), \(b < -2\)

\(2a > 10\), \(5b < -10\)

\(5b — 2a < -10 — 10 = -20\)

\(5b — 2a < -10\)

Неравенство доказано.

1) Рассмотрим неравенство \(3a — b > 17\) при условиях \(a > 5\) и \(b < -2\). Начнем с анализа каждого выражения по отдельности. Если \(a > 5\), то умножая обе части неравенства на 3, получаем \(3a > 3 \times 5 = 15\). Это значит, что выражение \(3a\) всегда больше 15 при любом \(a\), который больше 5. Теперь рассмотрим второе условие: \(b < -2\). Если мы умножим обе части этого неравенства на -1, то знак неравенства поменяется на противоположный, и получится \(-b > -(-2) = 2\). Таким образом, выражение \(-b\) всегда больше 2 при любом \(b\), который меньше -2.

Теперь сложим полученные неравенства: \(3a > 15\) и \(-b > 2\). Сложение неравенств возможно, потому что обе правые части — числа, и обе левые части — выражения, которые нас интересуют. Получаем: \(3a — b = 3a + (-b) > 15 + 2 = 17\). Это значит, что при любых \(a > 5\) и \(b < -2\) значение выражения \(3a — b\) обязательно будет больше 17.

Таким образом, мы показали, что если \(a > 5\) и \(b < -2\), то \(3a — b > 17\) всегда выполняется, потому что каждая часть выражения превышает соответствующее число, а их сумма дает требуемое неравенство. Это завершает доказательство первого пункта.

2) Рассмотрим неравенство \(5b — 2a < -10\) при условиях \(a > 5\) и \(b < -2\). Сначала проанализируем каждую часть выражения отдельно. Если \(a > 5\), то умножая обе части на 2, получаем \(2a > 2 \times 5 = 10\). Это значит, что выражение \(2a\) всегда больше 10 при любом \(a\), который больше 5. Теперь рассмотрим \(b < -2\). Умножая обе части на 5, получаем \(5b < 5 \times (-2) = -10\). То есть выражение \(5b\) всегда меньше -10 при любом \(b\), который меньше -2.

Теперь рассмотрим выражение \(5b — 2a\). Подставим наши оценки: \(5b < -10\), \(2a > 10\). Тогда \(5b — 2a < -10 — 10 = -20\). Это значит, что при любых \(a > 5\) и \(b < -2\) значение выражения \(5b — 2a\) всегда будет меньше -20. А так как \(-20 < -10\), то из этого сразу следует, что \(5b — 2a < -10\).

В итоге мы доказали, что если \(a > 5\) и \(b < -2\), то выражение \(5b — 2a\) будет меньше -10, потому что каждая часть выражения строго ограничена, и их разность дает еще меньшее значение, чем требуется по условию неравенства. Это завершает доказательство второго пункта.