ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 958 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 — (2a-1)x + a^2 — a — 6 = 0\) имеет два различных корня, принадлежащих промежутку \([-3; 2]\)?

Корни уравнения:
\(x_{1} = a — 3\)
\(x_{2} = a + 2\)

Пусть оба корня принадлежат отрезку \([-3; 2]\):

Первое неравенство:
\(-3 \leq a — 3 \leq 2\)
\(0 \leq a \leq 5\)

Второе неравенство:
\(-3 \leq a + 2 \leq 2\)
\(-5 \leq a \leq 0\)

Пересечение:
\(0 \leq a \leq 0\)
\(a = 0\)

1. Запишем данное уравнение: \(x^{2} — (2a — 1)x + a^{2} — a — 6 = 0\).

2. Найдём дискриминант: \(D = (2a — 1)^{2} — 4(a^{2} — a — 6)\).

3. Раскроем скобки: \(D = 4a^{2} — 4a + 1 — 4a^{2} + 4a + 24\).

4. Приведём подобные: \(D = 25\).

5. Найдём корни по формуле: \(x = \frac{2a — 1 \pm 5}{2}\).

6. Тогда \(x_{1} = \frac{2a — 1 — 5}{2} = \frac{2a — 6}{2} = a — 3\), \(x_{2} = \frac{2a — 1 + 5}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2\).

7. Оба корня должны принадлежать отрезку \([-3; 2]\).

8. Для первого корня: \(-3 \leq a — 3 \leq 2\). Решим: \(-3 + 3 \leq a \leq 2 + 3\), \(0 \leq a \leq 5\).

9. Для второго корня: \(-3 \leq a + 2 \leq 2\). Решим: \(-3 — 2 \leq a \leq 2 — 2\), \(-5 \leq a \leq 0\).

10. Найдём пересечение: \(0 \leq a \leq 0\), то есть \(a = 0\).