ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 969 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(b\) график функции \(y=x^2+bx+2\):

1) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

2) не имеет с осью абсцисс общих точек;

3) пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4?

1) \(b = \pm 2\sqrt{2}\)

2) \(b \in (-2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2})\)

3) \(b = -2\sqrt{6};\ 2\sqrt{6}\)

1) Пусть график имеет с осью абсцисс только одну общую точку. Это значит, что уравнение \(x^{2} + bx + 2 = 0\) имеет один корень, то есть дискриминант равен нулю. Запишем формулу дискриминанта: \(D = b^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = b^{2} — 8\). Приравняем к нулю: \(b^{2} — 8 = 0\), отсюда \(b^{2} = 8\). Тогда \(b = 2\sqrt{2}\) или \(b = -2\sqrt{2}\).

2) Пусть график не имеет с осью абсцисс общих точек. Это значит, что уравнение \(x^{2} + bx + 2 = 0\) не имеет корней, то есть дискриминант меньше нуля. \(b^{2} — 8 < 0\), отсюда \(b^{2} < 8\). Тогда \(b \in (-2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2})\).

3) Пусть график пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4. Корни уравнения: \(x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^{2} — 8}}{2}\), \(x_{2} = \frac{-b — \sqrt{b^{2} — 8}}{2}\). Найдём расстояние между корнями: \(|x_{1} — x_{2}| = |\frac{-b + \sqrt{b^{2} — 8}}{2} — \frac{-b — \sqrt{b^{2} — 8}}{2}| = |\frac{2\sqrt{b^{2} — 8}}{2}| = |\sqrt{b^{2} — 8}|\). По условию: \(|\sqrt{b^{2} — 8}| = 4\), тогда \(b^{2} — 8 = 16\), отсюда \(b^{2} = 24\). Значит, \(b = 2\sqrt{6}\) или \(b = -2\sqrt{6}\).