ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 970 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

График функции \(y=2+px+q\) проходит через точки \(A(1;1)\) и \(B(2;2)\). Проходит ли этот график через точку:

1) \(C(-1;-1);\)

2) \(D(3;5)?\)

Дано: \(y = x^{2} + px + q\).

Через \(A(1;1)\): \(1 + p + q = 1\), значит \(p + q = 0\), \(p = -q\).

Через \(B(2;2)\): \(4 + 2p + q = 2\), значит \(2p + q = -2\).

Подставляем \(p = -q\): \(2(-q) + q = -2\), \(-2q + q = -2\), \(-q = -2\), \(q = 2\), \(p = -2\).

Функция: \(y = x^{2} — 2x + 2\).

Проверка точки \(C(-1; -1)\):
\(y(-1) = (-1)^{2} — 2 \cdot (-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5\).
\(5 \neq -1\), ответ: нет.

Проверка точки \(D(3; 5)\):
\(y(3) = 3^{2} — 2 \cdot 3 + 2 = 9 — 6 + 2 = 5\).
\(5 = 5\), ответ: да.

Для начала рассмотрим, что у нас есть квадратичная функция, которая записывается в общем виде как \(y = x^{2} + px + q\), где \(p\) и \(q\) — это неизвестные коэффициенты, которые нам нужно найти. По условию известно, что график этой функции проходит через две заданные точки: \(A(1;1)\) и \(B(2;2)\). Это значит, что если мы подставим координаты этих точек в уравнение функции, то получим два уравнения с двумя неизвестными. Для точки \(A\) подставляем \(x = 1\) и \(y = 1\): \(1 = (1)^{2} + p \cdot 1 + q\), то есть \(1 = 1 + p + q\). Переносим 1 влево: \(1 — 1 = p + q\), получаем первое уравнение: \(p + q = 0\). Для точки \(B\) подставляем \(x = 2\) и \(y = 2\): \(2 = (2)^{2} + p \cdot 2 + q\), то есть \(2 = 4 + 2p + q\). Переносим 4 влево: \(2 — 4 = 2p + q\), получаем второе уравнение: \(2p + q = -2\).

Теперь решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения видно, что \(p = -q\). Подставим это выражение для \(p\) во второе уравнение: \(2p + q = -2\). Получаем \(2(-q) + q = -2\), то есть \(-2q + q = -2\). Приведём подобные: \(-q = -2\), значит \(q = 2\). Теперь найдём \(p\), подставив значение \(q\) в выражение из первого уравнения: \(p = -q = -2\). Таким образом, мы нашли оба неизвестных коэффициента: \(p = -2\) и \(q = 2\). Подставляем их обратно в исходное уравнение квадратичной функции и получаем: \(y = x^{2} — 2x + 2\).

Теперь проверим, проходит ли график этой функции через точку \(C(-1;-1)\). Подставим \(x = -1\) в уравнение: \(y(-1) = (-1)^{2} — 2 \cdot (-1) + 2\). Считаем по действиям: \((-1)^{2} = 1\), \(-2 \cdot (-1) = 2\), и ещё плюс 2. Складываем: \(1 + 2 + 2 = 5\). Значит, если \(x = -1\), то \(y = 5\), а по условию точки \(C\) должно быть \(y = -1\). Значит, график не проходит через точку \(C\), ответ — нет. Аналогично проверим точку \(D(3;5)\). Подставим \(x = 3\): \(y(3) = (3)^{2} — 2 \cdot 3 + 2\). Считаем: \((3)^{2} = 9\), \(-2 \cdot 3 = -6\), плюс 2. Складываем: \(9 — 6 + 2 = 5\). Это совпадает с координатой точки \(D\), то есть график проходит через точку \(D\), ответ — да.

1) нет
2) да