ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 971 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Парабола \(y=ax^2+bx+c\) проходит через точку \((0;10)\), а её вершиной является точка \((6;-2)\). Найдите коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\).

\(y = ax^{2} + bx + c\)

\(y(0) = c = 10\)

\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = 6\), значит \(b = -12a\)

\(y(6) = a \cdot 36 + b \cdot 6 + 10 = -2\)

\(36a + 6b + 10 = -2\)

\(36a + 6b = -12\)

\(36a + 6(-12a) = -12\)

\(36a — 72a = -12\)

\(-36a = -12\)

\(a = \frac{1}{3}\)

\(b = -12a = -12 \cdot \frac{1}{3} = -4\)

\(c = 10\)

\(a = \frac{1}{3};\ b = -4;\ c = 10\)

1. Пусть уравнение параболы имеет вид \(y = ax^{2} + bx + c\).

2. Так как парабола проходит через точку \((0; 10)\), подставим \(x = 0\), \(y = 10\):
\(10 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c\), значит \(c = 10\).

3. Вершина параболы находится в точке \((6; -2)\). Координата вершины по формуле:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a}\). Подставим \(x_{0} = 6\):
\(6 = -\frac{b}{2a}\), отсюда \(b = -12a\).

4. Подставим координаты вершины в уравнение параболы:
\(-2 = a \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + 10\).

5. Раскроем скобки:
\(-2 = 36a + 6b + 10\).

6. Перенесём 10 в левую часть:
\(-2 — 10 = 36a + 6b\),
\(-12 = 36a + 6b\).

7. Подставим значение \(b = -12a\):
\(-12 = 36a + 6(-12a)\).

8. Раскроем скобки:
\(-12 = 36a — 72a\).

9. Преобразуем:
\(-12 = -36a\),
\(a = \frac{1}{3}\).

10. Найдём \(b\):
\(b = -12a = -12 \cdot \frac{1}{3} = -4\).

11. Уже нашли \(c = 10\).

12. Ответ:
\(a = \frac{1}{3};\ b = -4;\ c = 10\)