ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 975 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) сумма квадратов корней уравнения \(x^2+ax+a-2=0\) будет принимать наименьшее значение?

Дано уравнение: \(x^2 + ax + a — 2 = 0\)

По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -a\), \(x_1 x_2 = a — 2\)

Сумма квадратов корней: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 = (-a)^2 — 2(a — 2) = a^2 — 2a + 4\)

Минимальное значение при \(a = 1\):

\(a_0 = \frac{2}{2} = 1\)

Ответ: \(1\)

Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 + ax + a — 2 = 0\), где коэффициент \(a\) — параметр. Пусть его корни обозначим как \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета сумма корней равна \(x_1 + x_2 = -a\), а произведение корней \(x_1 x_2 = a — 2\). Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов корней, то есть выражения \(x_1^2 + x_2^2\).

Для этого сначала воспользуемся формулой: сумма квадратов двух чисел равна квадрату их суммы минус удвоенное произведение этих чисел. Записываем: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2\). Подставляем значения из теоремы Виета: \(x_1^2 + x_2^2 = (-a)^2 — 2(a — 2)\). Раскроем скобки: \((-a)^2 = a^2\), а \(2(a — 2) = 2a — 4\). Получаем: \(x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2a + 4\).

Теперь рассмотрим выражение \(a^2 — 2a + 4\). Это квадратный трёхчлен, график которого — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(a^2\) положительный. Минимальное значение такой функции достигается в вершине параболы. Формула координаты вершины: \(a_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) — коэффициент при \(a^2\), а \(b\) — коэффициент при \(a\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -2\), значит, \(a_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\). Подставляем найденное значение \(a\) в исходное выражение: \(x_1^2 + x_2^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 + 4 = 1 — 2 + 4 = 3\). Ответ: \(1\).