ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 987 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) система уравнений имеет единственное решение:

1) \(\begin{cases} x-y=2, \\ xy=a; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2+y^2=6, \\ x+y=a? \end{cases}\)

\(a=-1\)

\(a=2\sqrt{3};\; -2\sqrt{3}\)

1)

Пусть дана система:
\(x-y=2\)
\(xy=a\)

Выразим \(y\) через \(x\):
\(y=x-2\)

Подставим во второе уравнение:
\(x(x-2)=a\)
\(x^{2}-2x-a=0\)

Чтобы система имела единственное решение, квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть дискриминант равен нулю:
\(D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-a)=4+4a=0\)
\(4a=-4\)
\(a=-1\)

2)

Пусть дана система:
\(x^{2}+y^{2}=6\)
\(x+y=a\)

Выразим \(y\) через \(x\):
\(y=a-x\)

Подставим во второе уравнение:
\(x^{2}+(a-x)^{2}=6\)
\(x^{2}+a^{2}-2ax+x^{2}=6\)
\(2x^{2}-2a x+a^{2}-6=0\)

Для единственного решения дискриминант равен нулю:
\(D=(-2a)^{2}-4\cdot 2\cdot(a^{2}-6)=4a^{2}-8a^{2}+48=0\)
\(-4a^{2}+48=0\)
\(4a^{2}=48\)
\(a^{2}=12\)
\(a=2\sqrt{3}\) или \(a=-2\sqrt{3}\)