ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 990 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 2 ч после начала движения расстояние между автомобилями составляло 40 км, причём встреча автомобилей уже произошла. Найдите скорость каждого автомобиля, если весь путь между городами один из них проехал на час быстрее, чем другой.

Пусть \(x\) — скорость первого, \(y\) — скорость второго.

Через 2 часа расстояние между автомобилями \(40\) км:
\(2(x+y) = 240 + 40\)
\(2(x+y) = 280\)
\(x+y = 140\)
\(y = 140 — x\)

Один проехал весь путь на час быстрее:
\(\frac{240}{x} — \frac{240}{y} = 1\)
Подставим \(y\):
\(\frac{240}{x} — \frac{240}{140-x} = 1\)
\(\frac{240(140-x) — 240x}{x(140-x)} = 1\)
\(33\,600 — 240x — 240x = x(140-x)\)
\(33\,600 — 480x = 140x — x^{2}\)
\(x^{2} — 620x + 33\,600 = 0\)

Решим квадратное уравнение:
\(D = 620^{2} — 4 \cdot 33\,600 = 384\,400 — 134\,400 = 250\,000\)
\(x_{1,2} = \frac{620 \pm 500}{2}\)
\(x_{1} = \frac{120}{2} = 60\)
\(x_{2} = \frac{1120}{2} = 560\)

\(y_{1} = 140 — 60 = 80\)
\(y_{2} = 140 — 560 = -420\)

Ответ: \(60\) км/ч и \(80\) км/ч.

1. Пусть \(x\) — скорость первого автомобиля, \(y\) — скорость второго автомобиля.

2. Через 2 часа после встречи расстояние между автомобилями стало \(40\) км. За это время оба автомобиля проехали вместе \(2(x+y)\) км. Так как они двигались навстречу друг другу, а потом разъехались, то суммарный путь равен \(240 + 40 = 280\) км.

3. Составим уравнение: \(2(x+y) = 280\). Разделим обе части на 2: \(x+y = 140\).

4. Выразим скорость второго автомобиля через скорость первого: \(y = 140 — x\).

5. По условию задачи, один автомобиль преодолел весь путь на 1 час быстрее, чем другой. Значит, если первый проезжает \(240\) км за \(\frac{240}{x}\) часов, а второй — за \(\frac{240}{y}\) часов, то разница во времени равна 1 часу: \(\frac{240}{x} — \frac{240}{y} = 1\).

6. Подставим выражение для \(y\): \(\frac{240}{x} — \frac{240}{140-x} = 1\).

7. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{240(140-x) — 240x}{x(140-x)} = 1\).

8. Раскроем скобки в числителе: \(240 \cdot 140 — 240x — 240x = 33\,600 — 480x\).

9. Получаем уравнение: \(\frac{33\,600 — 480x}{x(140-x)} = 1\).

10. Переносим всё в одну сторону: \(33\,600 — 480x = x(140-x)\).

11. Раскроем скобки справа: \(x \cdot 140 — x^{2} = 140x — x^{2}\).

12. Переносим всё в одну сторону: \(33\,600 — 480x — 140x + x^{2} = 0\).

13. Приведём подобные: \(x^{2} — 620x + 33\,600 = 0\).

14. Найдём дискриминант: \(D = 620^{2} — 4 \cdot 33\,600 = 384\,400 — 134\,400 = 250\,000\).

15. Найдём корни: \(x_{1,2} = \frac{620 \pm 500}{2}\).

16. Первый корень: \(x_{1} = \frac{620 — 500}{2} = \frac{120}{2} = 60\).

17. Второй корень: \(x_{2} = \frac{620 + 500}{2} = \frac{1120}{2} = 560\).

18. Найдём скорость второго автомобиля для первого корня: \(y_{1} = 140 — 60 = 80\).

19. Для второго корня: \(y_{2} = 140 — 560 = -420\).

20. Отрицательная скорость невозможна, значит, подходящий ответ: \(x = 60\), \(y = 80\).

Ответ: \(60\) км/ч и \(80\) км/ч.