ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 991 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода, которые встретились через 2 ч. Найдите скорость, с которой шёл каждый из них, если один пешеход преодолевает расстояние между селами на 1 ч 40 мин быстрее другого.

Пусть \(x\) — скорость первого, \(y\) — скорость второго.
Из условия: \(x + y = 10\), значит \(y = 10 — x\).
Время первого: \(\frac{20}{x}\), второго: \(\frac{20}{y}\).
Разница во времени: \(\frac{20}{y} — \frac{20}{x} = \frac{5}{3}\).
Подставим \(y\): \(\frac{20}{10-x} — \frac{20}{x} = \frac{5}{3}\).
Домножим на 3: \(3 \left(\frac{20}{10-x} — \frac{20}{x}\right) = 5\).
\( \frac{60}{10-x} — \frac{60}{x} = 5 \).
\( \frac{60x — 60(10-x)}{x(10-x)} = 5 \).
\( \frac{60x — 600 + 60x}{x(10-x)} = 5 \).
\( \frac{120x — 600}{x(10-x)} = 5 \).
\(120x — 600 = 5x(10-x)\).
\(120x — 600 = 50x — 5x^{2}\).
\(120x — 600 — 50x + 5x^{2} = 0\).
\(5x^{2} + 70x — 600 = 0\).
\(x^{2} + 14x — 120 = 0\).
\(D = 14^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676\).
\(x_{1} = \frac{-14 + 26}{2} = 6\), \(x_{2} = \frac{-14 — 26}{2} = -20\).
\(y_{1} = 10 — 6 = 4\), \(y_{2} = 10 — (-20) = 30\).
Ответ: \(4\, \text{км/ч}\) и \(6\, \text{км/ч}\).

1. Пусть \(x\) км/ч — скорость первого пешехода, \(y\) км/ч — скорость второго.
Они идут навстречу друг другу и встречаются через 2 часа.
За это время они вместе проходят 20 км:
\(x \cdot 2 + y \cdot 2 = 20\)
\(2x + 2y = 20\)
\(x + y = 10\)

2. Первый проходит всё расстояние на 1 ч 40 мин быстрее второго.
Переведём 1 ч 40 мин в часы:
\(1 + \frac{40}{60} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\) ч

3. Время, за которое первый проходит 20 км:
\(\frac{20}{x}\)
Время, за которое второй проходит 20 км:
\(\frac{20}{y}\)
Разница во времени:
\(\frac{20}{y} — \frac{20}{x} = \frac{5}{3}\)

4. Подставим из первого уравнения \(y = 10 — x\):
\(\frac{20}{10-x} — \frac{20}{x} = \frac{5}{3}\)

5. Домножим обе части на 3:
\(3 \left(\frac{20}{10-x} — \frac{20}{x}\right) = 5\)
\(\frac{60}{10-x} — \frac{60}{x} = 5\)

6. Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{60x — 60(10-x)}{x(10-x)} = 5\)
\(60x — 600 + 60x = 120x — 600\)
\(\frac{120x — 600}{x(10-x)} = 5\)

7. Перенесём всё в одну сторону:
\(120x — 600 = 5x(10-x)\)
\(120x — 600 = 50x — 5x^{2}\)
\(120x — 600 — 50x + 5x^{2} = 0\)
\(5x^{2} + 70x — 600 = 0\)

8. Разделим на 5:
\(x^{2} + 14x — 120 = 0\)

9. Найдём дискриминант:
\(D = 14^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676\)
\(\sqrt{676} = 26\)

10. Найдём корни:
\(x_{1} = \frac{-14 + 26}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
\(x_{2} = \frac{-14 — 26}{2} = \frac{-40}{2} = -20\)

11. Скорость не может быть отрицательной, значит \(x = 6\) км/ч
\(y = 10 — 6 = 4\) км/ч

12. Ответ: \(4\) км/ч и \(6\) км/ч