ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 1 «Проверьте себя» Номер 11 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое решение неравенства \(\frac{3x — 5}{2} > \frac{8 — x}{3}\).
А) 2
В) 4
Б) 3
Г) определить невозможно

Решаем неравенство \( \frac{3x — 5}{2} > \frac{8 — x}{3} \). Умножаем обе части на 6: \( 6 \cdot \frac{3x — 5}{2} > 6 \cdot \frac{8 — x}{3} \). Получаем \( 3(3x — 5) > 2(8 — x) \), то есть \( 9x — 15 > 16 — 2x \). Переносим \( -2x \) в левую часть и \( -15 \) в правую: \( 9x + 2x > 16 + 15 \), значит \( 11x > 31 \). Делим на 11: \( x > \frac{31}{11} \). Наименьшее целое, большее \( \frac{31}{11} \), это 3. Ответ: Б.

Рассмотрим неравенство \( \frac{3x — 5}{2} > \frac{8 — x}{3} \). В нем обе части содержат дроби с разными знаменателями: в левой части знаменатель равен 2, а в правой — 3. Чтобы решить такое неравенство, удобнее избавиться от дробей, умножив обе части на наименьшее общее кратное знаменателей. В данном случае это число 6, так как 6 делится и на 2, и на 3 без остатка. Умножение обеих частей на 6 позволит нам работать с целыми выражениями, что значительно упростит решение.

Умножаем обе части неравенства на 6: \( 6 \cdot \frac{3x — 5}{2} > 6 \cdot \frac{8 — x}{3} \). При умножении на 6 и сокращении с знаменателями получаем: \( 3(3x — 5) > 2(8 — x) \). Теперь скобки можно раскрыть, применяя распределительный закон умножения относительно сложения. Левая часть раскрывается как \( 3 \times 3x — 3 \times 5 = 9x — 15 \), а правая часть — как \( 2 \times 8 — 2 \times x = 16 — 2x \).

Получается новое неравенство: \( 9x — 15 > 16 — 2x \). Чтобы найти значение \( x \), при котором оно выполняется, нужно собрать все переменные \( x \) в одной части, а числа — в другой. Для этого переносим слагаемое \( -2x \) из правой части в левую, меняя знак на противоположный, и число \( -15 \) переносим из левой части в правую, также меняя знак. Получаем: \( 9x + 2x > 16 + 15 \). Сложив подобные члены, получаем \( 11x > 31 \).

Чтобы найти \( x \), делим обе части неравенства на 11, при этом знак неравенства не меняется, так как 11 — положительное число. Получаем: \( x > \frac{31}{11} \). Число \( \frac{31}{11} \) примерно равно 2,8181. Значит, \( x \) должно быть строго больше этого значения. Если требуется найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, это будет число 3, так как 3 больше 2,8181. Таким образом, ответ — Б.