ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 1 «Проверьте себя» Номер 14 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} x — 1 > 2x — 3, \\ 4x + 5 > x + 17 \end{cases}\).
А)\(\emptyset\)
В) \((-\infty; 4)\)
Б) \((2; +\infty)\)
Г) \((2; 4)\)

Решение системы неравенств:
\(\begin{cases} x — 1 > 2x — 3, \\ 4x + 5 > x + 17 \end{cases}\)

Первое неравенство: \(x — 1 > 2x — 3 \Rightarrow -1 + 3 > 2x — x \Rightarrow 2 > x \Rightarrow x < 2\). Второе неравенство: \(4x + 5 > x + 17 \Rightarrow 4x — x > 17 — 5 \Rightarrow 3x > 12 \Rightarrow x > \frac{12}{3} \Rightarrow x > 4\).

Пересечение решений \(x < 2\) и \(x > 4\) является пустым множеством.

Ответ: \(\emptyset\)

Решение системы неравенств:
\(\begin{cases} x — 1 > 2x — 3, \\ 4x + 5 > x + 17 \end{cases}\)

Рассмотрим первое неравенство: \(x — 1 > 2x — 3\). Для того чтобы его решить, необходимо собрать все члены, содержащие переменную \(x\), в одной части неравенства, а все постоянные числа — в другой. Перенесем \(2x\) из правой части в левую, изменив его знак на противоположный, и перенесем \(-1\) из левой части в правую, также изменив его знак:
\(x — 2x > -3 + 1\)
Теперь выполним арифметические операции в обеих частях неравенства:
\(-x > -2\)
Чтобы найти значение \(x\), нужно избавиться от отрицательного знака перед ним. Для этого умножим обе части неравенства на \(-1\). Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства должен быть изменен на противоположный. Таким образом, \(>\) превратится в \(<\): \((-1) \cdot (-x) < (-1) \cdot (-2)\) \(x < 2\) Это означает, что все числа, строго меньшие \(2\), являются решениями первого неравенства. Теперь рассмотрим второе неравенство: \(4x + 5 > x + 17\). Аналогично первому неравенству, перенесем члены с \(x\) в одну сторону, а постоянные числа — в другую. Перенесем \(x\) из правой части в левую, изменив его знак, и перенесем \(5\) из левой части в правую, также изменив его знак:
\(4x — x > 17 — 5\)
Выполним арифметические операции в обеих частях неравенства:
\(3x > 12\)
Чтобы найти значение \(x\), разделим обе части неравенства на коэффициент при \(x\), который равен \(3\). Поскольку \(3\) — это положительное число, знак неравенства останется без изменений:
\(\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}\)
\(x > 4\)
Это означает, что все числа, строго большие \(4\), являются решениями второго неравенства.

Теперь, чтобы найти решение всей системы неравенств, нам необходимо найти пересечение множеств решений, полученных из каждого неравенства. Мы получили, что для первого неравенства \(x < 2\), а для второго неравенства \(x > 4\).
Представим эти два условия на числовой прямой. Решение \(x < 2\) включает все числа, расположенные левее точки \(2\) на числовой прямой. Решение \(x > 4\) включает все числа, расположенные правее точки \(4\) на числовой прямой.
Очевидно, что эти два интервала \((-\infty, 2)\) и \((4, +\infty)\) не имеют общих точек. Нет ни одного числа, которое одновременно было бы меньше \(2\) и больше \(4\).
Таким образом, пересечение этих двух множеств решений является пустым множеством.

Ответ: \(\emptyset\)