ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 1 «Проверьте себя» Номер 18 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение \(2x^2 + 6x + a = 0\) не имеет корней?
А) \(a < 4,5\) В) \(a > -4,5\)
Б) \(a > 4,5\)
Г) \(a < -4,5\)

Для того чтобы уравнение \(2x^2 + 6x + a = 0\) не имело корней, его дискриминант должен быть меньше нуля.
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В данном уравнении \(a = 2\), \(b = 6\), \(c = a\).
Тогда \(D = 6^2 — 4 \cdot 2 \cdot a = 36 — 8a\).
Чтобы корней не было, \(36 — 8a < 0\). Переносим \(8a\) в правую часть: \(36 < 8a\). Делим обе части на \(8\): \(a > \frac{36}{8}\).
Получаем \(a > 4.5\).

Квадратное уравнение общего вида записывается как \(Ax^2 + Bx + C = 0\). Для того чтобы данное квадратное уравнение не имело действительных корней, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был строго меньше нуля. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = B^2 — 4AC\).

В нашем конкретном случае, дано квадратное уравнение \(2x^2 + 6x + a = 0\). Сравнивая его с общим видом, мы можем определить значения коэффициентов: \(A = 2\), \(B = 6\) и \(C = a\).

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\(D = (6)^2 — 4 \cdot (2) \cdot (a)\)
Выполняем вычисления:
\(D = 36 — 8a\)

Согласно условию, для отсутствия действительных корней дискриминант должен быть меньше нуля. Таким образом, мы получаем неравенство:
\(36 — 8a < 0\) Чтобы решить это неравенство относительно \(a\), мы можем прибавить \(8a\) к обеим частям неравенства: \(36 < 8a\) Далее, разделим обе части неравенства на \(8\). Поскольку \(8\) является положительным числом, знак неравенства не изменится: \(\frac{36}{8} < a\) Упростим дробь \(\frac{36}{8}\): \(\frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5\) Таким образом, мы получаем окончательное условие для \(a\): \(4.5 < a\) Или, что эквивалентно: \(a > 4.5\)

Следовательно, квадратное уравнение \(2x^2 + 6x + a = 0\) не имеет действительных корней при значениях \(a\), которые строго больше \(4.5\).