ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 1 «Проверьте себя» Номер 6 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(a > 0\), \(b < 0\). Какое из данных неравенств может быть правильным? А) \(a^2 < b^2\) Б) \(\frac{a}{b} > 1\)
В) \(a — b < 0\) Г) \(a^2 b^3 > 0\)

Если \(a > 0\) и \(b < 0\), то: А) \(a = 1\), \(b = -2\), тогда \(a^2 = 1^2 = 1\), \(b^2 = (-2)^2 = 4\), и \(1 < 4\) — верно. Б) \(\frac{a}{b} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} < 0\), а по условию должно быть больше 0 — неверно. В) \(a - b = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 > 0\), а по условию должно быть меньше 0 — неверно.

Г) \(a^2 b^3 = 1^2 \cdot (-2)^3 = 1 \cdot (-8) = -8 < 0\), а по условию должно быть больше 0 — неверно. Ответ: А.

Пусть \(a > 0\) и \(b < 0\). Рассмотрим каждое утверждение подробно, чтобы понять, какое из них верно. Первое утверждение А гласит, что \(a^2 < b^2\). Поскольку \(a\) положительно, его квадрат \(a^2\) тоже положителен, так как квадрат любого числа, кроме нуля, всегда неотрицателен, а для положительного числа — строго положителен. Число \(b\) отрицательно, но при возведении в квадрат знак меняется на положительный, потому что \((-b)^2 = b^2\). Например, если взять \(a = 1\), а \(b = -2\), то \(a^2 = 1^2 = 1\), а \(b^2 = (-2)^2 = 4\). В этом случае \(1 < 4\), значит утверждение А может быть верным. Второе утверждение Б говорит, что \(\frac{a}{b} > 1\). Здесь важно помнить, что \(a > 0\), а \(b < 0\), значит дробь \(\frac{a}{b}\) будет отрицательной, потому что деление положительного числа на отрицательное всегда дает отрицательное число. Например, если \(a = 1\), а \(b = -2\), то \(\frac{a}{b} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\), что меньше нуля и, следовательно, не может быть больше 1. Значит, утверждение Б неверно. Третье утверждение В утверждает, что \(a - b < 0\). Поскольку \(b\) отрицательно, вычитание \(b\) эквивалентно сложению его положительного значения: \(a - b = a + |b|\). Поскольку \(a > 0\) и \(|b| > 0\), сумма \(a + |b|\) будет положительной. Например, если \(a = 1\) и \(b = -2\), то \(a — b = 1 — (-2) = 1 + 2 = 3\), что больше нуля. Значит, утверждение В неверно.

Четвертое утверждение Г говорит, что \(a^2 b^3 > 0\). Поскольку \(a > 0\), \(a^2 > 0\). Число \(b\) отрицательное, а куб отрицательного числа остается отрицательным, то есть \(b^3 < 0\). Например, при \(b = -2\), \(b^3 = (-2)^3 = -8\). Произведение \(a^2 b^3 = (положительное) \times (отрицательное) = отрицательное\), следовательно, выражение меньше нуля, и утверждение Г неверно. Итог: единственное правильное утверждение — А.