ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 2 «Проверьте себя» Номер 12 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рисунке изображён график функции \(y = -x^2 + 2x + 4\). Используя рисунок, найдите область значений функции.

A) \((-\infty; +\infty)\)

Б) \((-\infty; 1]\)

B) \([1; +\infty)\)

Г) \((-\infty; 5]\)

Функция \(y = -x^{2} + 2x + 4\) — парабола с ветвями вниз. Найдём вершину: \(x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\). Подставим в функцию: \(y = -(1)^{2} + 2 \cdot 1 + 4 = 5\). Максимальное значение \(5\), минимального нет, значит область значений \(y \in (-\infty; 5]\). Ответ: Г.

1. Дана функция \(y = -x^{2} + 2x + 4\). Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный, значит парабола направлена вниз.

2. Чтобы найти область значений, нужно найти вершину параболы, так как она показывает максимум функции. Формула для координаты вершины по \(x\) — \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a = -1\), \(b = 2\).

3. Подставляем значения: \(x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1\).

4. Теперь найдём значение функции в вершине. Подставим \(x = 1\) в выражение: \(y = -(1)^{2} + 2 \cdot 1 + 4 = -1 + 2 + 4 = 5\).

5. Так как парабола направлена вниз, значение функции достигает максимума в вершине и равно 5.

6. Минимального значения функция не имеет, потому что при больших значениях \(x\) по модулю \(y\) стремится к минус бесконечности.

7. Значит, область значений функции — все числа меньше или равные 5.

8. Запишем это в виде интервала: \(y \in (-\infty; 5]\).

9. Среди предложенных вариантов это соответствует варианту Г.

Ответ: Г.