ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 10 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений имеет система уравнений

\[\begin{cases}x^2 — y = 4, \\x + y = 1?\end{cases}\]

А) решений нет

В) два решения

Б) одно решение

Г) четыре решения

Дано:
\(\begin{cases} x^2 — y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases}\)

Второе уравнение: \(y = 1 — x\)

Подставляем в первое:
\(x^2 — (1 — x) = 4\)
\(x^2 + x — 5 = 0\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21 > 0\)

Значит, два решения.

Ответ: В.

1. Дана система уравнений:
\(\begin{cases} x^2 — y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases}\)
Первое уравнение содержит квадрат переменной \(x\) и переменную \(y\), а второе уравнение — линейное. Чтобы решить систему, нужно найти такие значения \(x\) и \(y\), которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям.

2. Из второго уравнения выразим переменную \(y\). Это удобно, потому что во втором уравнении \(y\) стоит отдельно:
\(x + y = 1\)
Отсюда:
\(y = 1 — x\)
Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) в первое уравнение, чтобы получить уравнение только с одной переменной — \(x\).

3. Подставляем в первое уравнение вместо \(y\) выражение \(1 — x\):
\(x^2 — (1 — x) = 4\)
Раскроем скобки:
\(x^2 — 1 + x = 4\)
Переносим все члены на одну сторону:
\(x^2 + x — 5 = 0\)
Это квадратное уравнение с коэффициентами \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -5\).

4. Чтобы решить квадратное уравнение, вычислим дискриминант:
\(D = b^{2} — 4ac = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21\)
Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два различных вещественных корня. Это говорит о том, что у системы будет два решения.

5. Найдём корни по формуле:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}\)
Таким образом, первый корень:
\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\),
второй корень:
\(x_2 = \frac{-1 — \sqrt{21}}{2}\).

6. Для каждого значения \(x\) найдём соответствующее \(y\), используя формулу \(y = 1 — x\):
Для \(x_1\):
\(y_1 = 1 — \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} = \frac{2 — (-1 + \sqrt{21})}{2} = \frac{3 — \sqrt{21}}{2}\)
Для \(x_2\):
\(y_2 = 1 — \frac{-1 — \sqrt{21}}{2} = \frac{2 — (-1 — \sqrt{21})}{2} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\)

7. Получили два набора значений \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), которые удовлетворяют исходной системе уравнений. Это значит, что система имеет два решения.

8. Таким образом, ответ на задачу:
В) два решения.