ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 11 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какое наибольшее значение принимает выражение \(x + y\), если пара чисел \((x; y)\) является решением системы уравнений

\(\begin{cases} x — y = 5, \\ x^2 + 2xy — y^2 = -7? \end{cases}\)

А) 1

Б) 6

В) 0

Г) -5

Дано:
\(x — y = 5\), значит \(y = x — 5\).

Подставляем во второе уравнение:
\(x^2 + 2x(x — 5) — (x — 5)^2 = -7\).

Раскрываем скобки:
\(x^2 + 2x^2 — 10x — (x^2 — 10x + 25) = -7\).

Упрощаем:
\(x^2 + 2x^2 — 10x — x^2 + 10x — 25 = -7\),
\(2x^2 — 25 = -7\).

Переносим числа:
\(2x^2 = 18\),
\(x^2 = 9\),
\(x = \pm 3\).

Находим \(y\):
Если \(x = -3\), то \(y = -3 — 5 = -8\).
Если \(x = 3\), то \(y = 3 — 5 = -2\).

Вычисляем \(x + y\):
Для \((-3, -8)\) получаем \(-3 — 8 = -11\).
Для \((3, -2)\) получаем \(3 — 2 = 1\).

Наибольшее значение \(x + y\) равно \(1\).
Ответ: А.

1. Дано уравнение \(x — y = 5\). Из него выразим \(y\):
\(y = x — 5\).

2. Подставим выражение для \(y\) во второе уравнение \(x^2 + 2xy — y^2 = -7\):
\(x^2 + 2x(x — 5) — (x — 5)^2 = -7\).

3. Раскроем скобки:
\(x^2 + 2x^2 — 10x — (x^2 — 10x + 25) = -7\).

4. Упростим выражение:
\(x^2 + 2x^2 — 10x — x^2 + 10x — 25 = -7\).

5. Сложим подобные слагаемые:
\(2x^2 — 25 = -7\).

6. Перенесём число в правую часть уравнения:
\(2x^2 = 18\).

7. Найдём \(x^2\):
\(x^2 = 9\).

8. Извлечём корни:
\(x = 3\) или \(x = -3\).

9. Найдём соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 3\), то \(y = 3 — 5 = -2\).
Если \(x = -3\), то \(y = -3 — 5 = -8\).

10. Найдём значения \(x + y\) для каждого случая:
Для \((3, -2)\) получаем \(3 + (-2) = 1\).
Для \((-3, -8)\) получаем \(-3 + (-8) = -11\).

Наибольшее значение \(x + y\) равно \(1\).
Ответ: А.