ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 12 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пара чисел \((a; b)\) является решением системы уравнений

\(\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ \frac{1}{x} — \frac{3}{y} = 9. \end{cases}\)

Найдите значение выражения \(a — b\).

А) 5

Б) 1

В) \(\frac{1}{6}\)

Г) \(\frac{5}{6}\)

Пусть \( u = \frac{1}{x} \), \( v = \frac{1}{y} \). Тогда система становится:
\( 2u + v = 4 \)
\( u — 3v = 9 \)

Из второго уравнения: \( u = 9 + 3v \). Подставим в первое:
\( 2(9 + 3v) + v = 4 \)
\( 18 + 6v + v = 4 \)
\( 7v = 4 — 18 = -14 \)
\( v = -2 \)

Тогда \( u = 9 + 3(-2) = 3 \).

Вернемся к \( x \) и \( y \):
\( \frac{1}{x} = u = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{y} = v = -2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \)

Найдем \( a — b = x — y = \frac{1}{3} — \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \).

1. Пусть \( u = \frac{1}{x} \) и \( v = \frac{1}{y} \). Тогда исходная система уравнений
\( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4 \) и \( \frac{1}{x} — \frac{3}{y} = 9 \)
превратится в систему:
\( 2u + v = 4 \)
\( u — 3v = 9 \).

2. Из второго уравнения выразим \( u \):
\( u = 9 + 3v \).

3. Подставим выражение для \( u \) в первое уравнение:
\( 2(9 + 3v) + v = 4 \).

4. Раскроем скобки и упростим:
\( 18 + 6v + v = 4 \)
\( 18 + 7v = 4 \).

5. Вычтем 18 из обеих частей уравнения:
\( 7v = 4 — 18 \)
\( 7v = -14 \).

6. Найдем \( v \), разделив обе части на 7:
\( v = -2 \).

7. Подставим найденное значение \( v \) в выражение для \( u \):
\( u = 9 + 3(-2) = 9 — 6 = 3 \).

8. Теперь вернемся к переменным \( x \) и \( y \):
\( \frac{1}{x} = u = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \),
\( \frac{1}{y} = v = -2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \).

9. Найдем разность \( a — b = x — y \):
\( \frac{1}{3} — \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \).

10. Приведем к общему знаменателю и сложим дроби:
\( \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \).