ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 18 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) прямая \(2x — y = a\) имеет с параболой \(y = x^2 — 8\) одну общую точку?

А) \(a = 8\)

В) \(a = -9\)

Б) \(a = 9\)

Г) таких значений не существует

Первое уравнение: \(y = 2x — a\);

Второе уравнение: \(y = x^2 — 8\);

Приравниваем: \(2x — a = x^2 — 8\);

Переносим в одну сторону: \(x^2 — 2x + a — 8 = 0\);

Дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a — 8) = 4 — 4a + 32 = 36 — 4a\);

Для одного корня: \(D = 0\);

Решаем: \(36 — 4a = 0\);

\(4a = 36\);

\(a = 9\);

Ответ: Б.

1. Даны два уравнения: \(y = 2x — a\) — уравнение прямой, и \(y = x^2 — 8\) — уравнение параболы. Чтобы найти количество точек пересечения, нужно приравнять правые части этих уравнений, так как в точках пересечения значения \(y\) и \(x\) должны совпадать. Получаем уравнение \(2x — a = x^2 — 8\).

2. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно \(x\): \(x^2 — 2x + a — 8 = 0\). Это стандартное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = a — 8\). Решение этого уравнения покажет, сколько точек пересечения у прямой и параболы.

3. Для определения количества корней квадратного уравнения используется дискриминант \(D\), который вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). Подставляем наши значения: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a — 8) = 4 — 4a + 32\). Упрощаем: \(D = 36 — 4a\).

4. Если дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня, значит, прямая и парабола пересекаются в двух точках. Если дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, то есть прямая касается параболы в одной точке. Если дискриминант меньше нуля, корней нет, пересечений нет.

5. Нам нужно найти значение \(a\), при котором уравнение имеет ровно один корень, то есть \(D = 0\). Приравниваем: \(36 — 4a = 0\). Решаем: \(4a = 36\), откуда \(a = 9\).

Ответ: Б.