ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 2 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каково множество решений неравенства \(x^2 + 8x — 9 \geq 0\)?

А) \((-\infty; -9) \cup (1; +\infty)\)

В) \((-\infty; -1) \cup (9; +\infty)\)

Б) \((-\infty; -9] \cup [1; +\infty)\)

Г) \((-\infty; -1] \cup [9; +\infty)\)

Решаем неравенство \(x^2 + 8x — 9 \geq 0\).

Вычисляем дискриминант: \(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\).

Находим корни:

\(x_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9\),

\(x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1\).

Так как парабола направлена вверх, то \(x^2 + 8x — 9 \geq 0\) при \(x \leq -9\) или \(x \geq 1\).

Ответ: \( (-\infty; -9] \cup [1; +\infty) \).

Рассмотрим неравенство \(x^2 + 8x — 9 \geq 0\). Чтобы понять, при каких значениях \(x\) оно выполняется, сначала нужно найти точки, где выражение равно нулю, то есть решить уравнение \(x^2 + 8x — 9 = 0\). Это важно, потому что знак выражения меняется именно в корнях квадратного уравнения.

Для решения уравнения вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=1\), \(b=8\), \(c=-9\). Подставляем значения: \(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\). Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем числа: \(x_1 = \frac{-8 — 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9\) и \(x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Теперь важно понять, где выражение \(x^2 + 8x — 9\) положительно или равно нулю. Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный (равен 1), график функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Это значит, что между корнями парабола расположена ниже оси \(x\), а на внешних промежутках — выше или на оси. Следовательно, неравенство \(x^2 + 8x — 9 \geq 0\) выполнится, когда \(x\) находится либо слева от меньшего корня, то есть при \(x \leq -9\), либо справа от большего корня, то есть при \(x \geq 1\). Корни включаем в ответ, так как знак неравенства включает равенство нулю.

Таким образом, множество решений неравенства — это объединение двух промежутков: \( (-\infty; -9] \cup [1; +\infty) \). Это значит, что все числа, меньшие или равные \(-9\), и все числа, большие или равные \(1\), подходят под условие неравенства.