ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 3 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство \(3x^2 + 5x — 8 < 0\)?

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 6

Решим неравенство \(3x^2 + 5x — 8 < 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121\).

Найдём корни уравнения \(3x^2 + 5x — 8 = 0\):

\(x_1 = \frac{-5 — \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 — 11}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}\),

\(x_2 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1\).

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, то неравенство выполняется при \(x \in \left(-\frac{8}{3}; 1\right)\).

Целые числа в этом промежутке: \(-2, -1, 0\).

Ответ: А) 3.

1. Рассмотрим неравенство \(3x^{2} + 5x — 8 < 0\). Это квадратное неравенство, где \(3x^{2}\) — квадратичный член, \(5x\) — линейный член, а \(-8\) — свободный член. Чтобы понять, при каких значениях \(x\) оно выполняется, сначала нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения \(3x^{2} + 5x — 8 = 0\). Корни уравнения — это те точки, где график функции \(y = 3x^{2} + 5x — 8\) пересекает ось \(x\). Эти точки важны, потому что знак выражения меняется именно в них.

2. Для нахождения корней вычислим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = -8\). Подставим значения: \(D = 5^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121\). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два разных корня. Теперь найдём сами корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим числа: первый корень \(x_1 = \frac{-5 — \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 — 11}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}\), второй корень \(x_2 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1\).

3. Теперь важно понять, где функция \(3x^{2} + 5x — 8\) принимает отрицательные значения. Парабола, заданная этой функцией, направлена вверх, так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный (\(3 > 0\)). Значит, между корнями парабола находится ниже оси \(x\), а вне корней — выше. Следовательно, неравенство \(3x^{2} + 5x — 8 < 0\) выполняется для всех \(x\), лежащих строго между корнями, то есть для \(x \in \left(-\frac{8}{3}; 1\right)\).

4. Чтобы найти целочисленные решения, нужно определить, какие целые числа принадлежат этому промежутку. Число \(-\frac{8}{3}\) примерно равно \(-2.66\), а \(1\) — это целое число. Целые числа между ними — это \(-2\), \(-1\), и \(0\). Эти три числа удовлетворяют неравенству, так как при подстановке в исходное выражение значение будет меньше нуля.

5. Таким образом, количество целых чисел, для которых верно неравенство \(3x^{2} + 5x — 8 < 0\), равно трём.

Ответ: А) 3.