ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 6 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Укажите неравенство, не имеющее решений.

А) \(x^2 — 6x + 10 < 0\)

В) \(-3x^2 + 8x + 3 < 0\)

Б) \(-5x^2 + 3x + 2 > 0\)

Г) \(-x^2 — 10x > 0\)

А) \(x^2 — 6x + 10 < 0\);
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 — 40 = -4 < 0\), решений нет.

Б) \(-5x^2 + 3x + 2 > 0\);
\(D = 3^2 — 4 \cdot (-5) \cdot 2 = 9 + 40 = 49 > 0\), есть решения.

В) \(-3x^2 + 8x + 3 < 0\);
\(D = 8^2 — 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 64 + 36 = 100 > 0\), есть решения.

Г) \(-x^2 — 10x > 0\);
\(x(x + 10) < 0\),
\(-10 < x < 0\), есть решения.

Ответ: А.

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 — 6x + 10 < 0\). Найдём дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 10\). Получаем \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 — 40 = -4\). Поскольку \(D < 0\), у квадратного уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось \(x\). Так как \(a > 0\), парабола направлена вверх и всё выражение всегда положительно. Следовательно, решений неравенства нет.

2) Рассмотрим неравенство \(-5x^2 + 3x + 2 > 0\). Найдём дискриминант: \(a = -5\), \(b = 3\), \(c = 2\). Тогда \(D = 3^2 — 4 \cdot (-5) \cdot 2 = 9 + 40 = 49\). Так как \(D > 0\), у уравнения два корня. Парабола направлена вниз, так как \(a < 0\). Значит, неравенство будет выполняться между корнями, решения есть.

3) Рассмотрим неравенство \(-3x^2 + 8x + 3 < 0\). Найдём дискриминант: \(a = -3\), \(b = 8\), \(c = 3\). Получаем \(D = 8^2 — 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 64 + 36 = 100\). Дискриминант положителен, значит есть два корня. Парабола направлена вниз, так как \(a < 0\). Неравенство \(< 0\) выполняется вне корней, значит решения есть.

4) Рассмотрим неравенство \(-x^2 — 10x > 0\). Перепишем его в виде \(x^2 + 10x < 0\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x + 10) < 0\). Это произведение меньше нуля, если один из множителей положителен, а другой отрицателен. Значит, \(x\) лежит между корнями: \(-10 < x < 0\). Решения есть.

Ответ: А.