ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 3 «Проверьте себя» Номер 8 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какие фигуры являются графиками уравнений системы
\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\xy = -3?\end{cases}\]
А) прямая и парабола
В) окружность и гипербола
Б) окружность и парабола
Г) парабола и гипербола

\(x^2 + y^2 = 5\) — уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(R = \sqrt{5}\).
\(xy = -3\) — уравнение гиперболы, можно выразить \(y = -\frac{3}{x}\).
Ответ: В.

1. В системе уравнений есть два выражения: \(x^{2} + y^{2} = 5\) и \(xy = -3\). Первое уравнение описывает геометрическую фигуру, которую нужно определить. Второе уравнение связывает переменные \(x\) и \(y\) произведением.

2. Рассмотрим первое уравнение \(x^{2} + y^{2} = 5\). Это классическое уравнение окружности с центром в начале координат \( (0; 0) \). Чтобы понять, что это окружность, вспомним, что уравнение окружности с центром в точке \( (a; b) \) и радиусом \(R\) имеет вид \( (x — a)^{2} + (y — b)^{2} = R^{2} \). В нашем случае \(a = 0\), \(b = 0\), а правая часть равна 5, значит радиус равен \( \sqrt{5} \). Значит, все точки \( (x; y) \), удовлетворяющие этому уравнению, лежат на окружности радиуса \( \sqrt{5} \).

3. Теперь рассмотрим второе уравнение \(xy = -3\). Это уравнение гиперболы, поскольку произведение координат постоянно и отрицательно. Если выразить \(y\) через \(x\), получим \(y = -\frac{3}{x}\). График этой функции — гипербола, которая состоит из двух ветвей, расположенных в разных квадрантах координатной плоскости. Это уравнение не задаёт окружность и не является линейным уравнением.

4. Таким образом, первое уравнение описывает окружность, а второе — гиперболу. Следовательно, графики системы уравнений — это окружность и гипербола.

5. Ответ: В.