ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 5 «Проверьте себя» Номер 8 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны и чётны?
A) 96 Б) 48 B) 100 Г) 120

Всего существует 5 чётных цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Поскольку число четырёхзначное, первая цифра не может быть 0, значит, для первой позиции доступно 4 варианта (2, 4, 6, 8). Для второй позиции доступно 4 варианта (оставшиеся цифры, включая 0), для третьей — 3 варианта, для четвёртой — 2 варианта. Таким образом, общее количество чисел равно \(4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96\).

Ответ: А) 96

1. Определим задачу: нам нужно найти количество четырёхзначных чисел, у которых все цифры различны и являются чётными. Чётные цифры — это \(0, 2, 4, 6, 8\), всего их 5. Поскольку число четырёхзначное, оно не может начинаться с нуля, что накладывает ограничение на выбор первой цифры.

2. Рассмотрим множество доступных цифр. У нас есть набор чётных цифр: \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\). Размер этого множества равен \(5\). Нам нужно выбрать 4 различные цифры из этого множества и расположить их в определённом порядке, учитывая ограничение на первую цифру.

3. Определим количество вариантов для первой цифры. Поскольку число не может начинаться с \(0\), первая цифра может быть только одной из следующих: \(2, 4, 6, 8\). Таким образом, для первой позиции у нас есть \(4\) возможных варианта.

4. Перейдём к выбору второй цифры. После выбора первой цифры у нас остаётся \(4\) цифры, включая \(0\), так как ограничение на ноль действует только для первой позиции. Значит, для второй позиции доступно \(4\) варианта (все оставшиеся цифры).

5. Теперь выберем третью цифру. После выбора первых двух цифр у нас остаётся \(3\) неиспользованные цифры. Таким образом, для третьей позиции доступно \(3\) варианта.

6. Наконец, определим количество вариантов для четвёртой цифры. После выбора первых трёх цифр у нас остаётся \(2\) неиспользованные цифры. Значит, для четвёртой позиции доступно \(2\) варианта.

7. Чтобы найти общее количество четырёхзначных чисел, удовлетворяющих условиям, умножим количество вариантов на каждом шаге. Имеем: \(4\) (для первой цифры) \(\cdot 4\) (для второй цифры) \(\cdot 3\) (для третьей цифры) \(\cdot 2\) (для четвёртой цифры).

8. Вычислим результат: \(4 \cdot 4 = 16\), затем \(16 \cdot 3 = 48\), и, наконец, \(48 \cdot 2 = 96\). Таким образом, общее количество возможных чисел равно \(96\).

9. Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа: А) 96, Б) 48, В) 100, Г) 120. Наше вычисление показывает, что правильный ответ — \(96\), что соответствует варианту А.

10. Следовательно, количество четырёхзначных чисел, все цифры которых различны и чётны, равно \(96\). Ответ: А) 96.