ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 12 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 + a_5 = 28\) и \(a_2 + a_8 = 24\).
А) 4
Б) 3
В) 2,5
Г) 2

Даны члены прогрессии: \(a_1 + a_5 = 28\), \(a_2 + a_3 = 24\);

Первое уравнение: \(a_1 + a_1 + 4d = 28\); \(2a_1 = 28 — 4d\);

Второе уравнение: \(a_1 + d + a_1 + 2d = 24\); \(2a_1 + 3d = 24\); \(28 — 4d + 3d = 24\); \(4 — d = 0\), \(d = 4\);

Ответ: А.

Дано, что члены арифметической прогрессии удовлетворяют условиям \(a_1 + a_5 = 28\) и \(a_2 + a_3 = 24\). В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением постоянного разности \(d\) к предыдущему члену. Значит, можно выразить \(a_5\) и другие члены через первый член \(a_1\) и разность \(d\). Так, \(a_5 = a_1 + 4d\), так как между первым и пятым членом четыре шага разности. Используя это, первое уравнение перепишем как \(a_1 + (a_1 + 4d) = 28\), что упрощается до \(2a_1 + 4d = 28\). Отсюда можно выразить \(2a_1 = 28 — 4d\).

Второе уравнение связано со вторым и третьим членами прогрессии. Аналогично, \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2d\). Тогда сумма \(a_2 + a_3\) равна \((a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 2a_1 + 3d\). По условию, эта сумма равна 24, значит \(2a_1 + 3d = 24\). Теперь вторая система уравнений выглядит так: \(2a_1 = 28 — 4d\) и \(2a_1 + 3d = 24\).

Подставим выражение для \(2a_1\) из первого уравнения во второе: \(28 — 4d + 3d = 24\). Сократим: \(28 — d = 24\). Отсюда находим разность \(d = 4\). Подставив \(d = 4\) обратно в уравнение \(2a_1 = 28 — 4d\), получаем \(2a_1 = 28 — 16 = 12\), следовательно, \(a_1 = 6\). Таким образом, нашли первый член и разность прогрессии, что позволяет определить все остальные члены. Ответ: А.