ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 14 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь \(0,(27)\).

А) \(\frac{3}{11}\)

Б) \(\frac{27}{100}\)

В) \(\frac{3}{100}\)

Г) \(\frac{27}{99}\)

Бесконечная десятичная дробь \(0,(27)\) представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = 0,27\) и знаменателем \(q = 0,01\). Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Подставим значения: \(S = \frac{0,27}{1 — 0,01} = \frac{0,27}{0,99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}\).

Ответ: А) \(\frac{3}{11}\).

1. Бесконечная десятичная дробь \(0,(27)\) означает повторяющуюся последовательность цифр 27 после десятичной точки, то есть \(0,272727…\). Наша задача — представить это число в виде обыкновенной дроби.

2. Для решения мы используем концепцию бесконечной геометрической прогрессии. Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, где каждый последующий член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии.

3. Разложим \(0,(27)\) на сумму слагаемых: \(0,27 + 0,0027 + 0,000027 + …\). Здесь первое слагаемое \(b_1 = 0,27\), а каждое следующее слагаемое получается умножением предыдущего на \(q = 0,01\), что и является знаменателем прогрессии.

4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), где \(b_1\) — первый член прогрессии, а \(q\) — ее знаменатель. Подставим наши значения: \(S = \frac{0,27}{1 — 0,01}\).

5. Вычислим знаменатель: \(1 — 0,01 = 0,99\). Таким образом, сумма становится равной \(S = \frac{0,27}{0,99}\).

6. Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков: \(\frac{0,27 \cdot 100}{0,99 \cdot 100} = \frac{27}{99}\).

7. Теперь сократим дробь \(\frac{27}{99}\). Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя, который равен 9. Делим числитель и знаменатель на 9: \(\frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}\).

8. Таким образом, бесконечная десятичная дробь \(0,(27)\) равна обыкновенной дроби \(\frac{3}{11}\).

9. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами: А) \(\frac{3}{11}\), Б) \(\frac{27}{100}\), В) \(\frac{3}{100}\), Г) \(\frac{27}{99}\), мы видим, что правильный ответ — А) \(\frac{3}{11}\).

10. Ответ: А) \(\frac{3}{11}\).