ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 16 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равна сумма девяти первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_1 + a_4 + a_{10} = 18\)?

А) 48

Б) 54

В) 72

Г) найти невозможно

Сумма девяти первых членов арифметической прогрессии равна 54. Дано: \(a_1 + a_4 + a_{10} = 18\). Выразим члены через первый член и разность: \(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_{10} = a_1 + 9d\). Тогда \(3a_1 + 12d = 18\), откуда \(a_1 + 4d = 6\). Это значение равно \(a_5\), так как \(a_5 = a_1 + 4d\). Сумма первых девяти членов: \(S_9 = 9 \cdot a_5 = 9 \cdot 6 = 54\). Ответ: Б) 54.

1. Давайте решим задачу о нахождении суммы девяти первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если известно, что \(a_1 + a_4 + a_{10} = 18\). Мы будем шаг за шагом разбирать условие и выводить ответ, используя свойства арифметической прогрессии.

2. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается путем прибавления к предыдущему члену постоянного числа, называемого разностью прогрессии \(d\). Таким образом, общий вид члена прогрессии можно записать как \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) — первый член, а \(n\) — номер члена последовательности.

3. В условии задачи дано, что сумма трех членов прогрессии \(a_1 + a_4 + a_{10} = 18\). Выразим каждый из этих членов через \(a_1\) и \(d\). Для \(a_4\) получаем \(a_4 = a_1 + 3d\), так как номер члена 4, значит, к первому члену прибавляется разность \(d\) три раза. Для \(a_{10}\) аналогично: \(a_{10} = a_1 + 9d\), поскольку к первому члену прибавляется разность девять раз.

4. Теперь подставим эти выражения в уравнение из условия: \(a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 18\). Сложим все слагаемые: \(3a_1 + 12d = 18\). Это уравнение можно упростить, разделив обе части на 3: \(\frac{3a_1 + 12d}{3} = \frac{18}{3}\), что дает \(a_1 + 4d = 6\).

5. Обратите внимание, что выражение \(a_1 + 4d\) соответствует пятому члену прогрессии, так как \(a_5 = a_1 + 4d\). Таким образом, мы получили, что \(a_5 = 6\). Это важный результат, который поможет нам найти сумму первых девяти членов.

6. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\) или, что эквивалентно, \(S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a_1 + (n-1)d\). Однако, поскольку мы знаем значение среднего члена (для нечетного количества членов), можно использовать свойство арифметической прогрессии: сумма первых \(n\) членов с нечетным \(n\) равна произведению количества членов на средний член.

7. В нашем случае \(n = 9\), что является нечетным числом, а средним членом последовательности из девяти членов будет пятый член, то есть \(a_5\). Таким образом, сумма первых девяти членов \(S_9 = 9 \cdot a_5\).

8. Подставим известное значение \(a_5 = 6\): \(S_9 = 9 \cdot 6 = 54\). Мы получили сумму первых девяти членов прогрессии, равную 54.

9. Теперь проверим, соответствует ли наш результат одному из предложенных вариантов ответа: А) 48, Б) 54, В) 72, Г) найти невозможно. Значение 54 совпадает с вариантом Б.

10. Таким образом, сумма девяти первых членов арифметической прогрессии равна 54. Ответ: Б) 54.