ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 7 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равен знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 36\), \(b_2 = 9\)?

А) \(\frac{1}{4}\)

Б) 4

В) 27

Г) -27

Знаменатель геометрической прогрессии \(q\) находится как отношение второго члена к первому: \(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\). Ответ: А) \(\frac{1}{4}\).

1. Для решения задачи нам нужно найти знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), зная, что первый член \(b_1 = 36\), а второй член \(b_2 = 9\). Геометрическая прогрессия характеризуется тем, что каждый последующий член получается из предыдущего путем умножения на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии \(q\).

2. Формула для нахождения знаменателя прогрессии выглядит как \(q = \frac{b_{n+1}}{b_n}\). В нашем случае, для второго члена \(b_2\) и первого члена \(b_1\), это будет \(q = \frac{b_2}{b_1}\).

3. Подставим известные значения: \(q = \frac{9}{36}\). Выполним деление: \(9 \div 36 = \frac{9}{36}\). Сократим дробь на 9, получив \(q = \frac{1}{4}\).

4. Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен \(\frac{1}{4}\). Сравнивая с предложенными вариантами (А) \(\frac{1}{4}\), Б) 4, В) 27, Г) -27), мы видим, что правильный ответ — А) \(\frac{1}{4}\).

5. Для проверки можно вычислить следующий член прогрессии. Если \(q = \frac{1}{4}\), то третий член \(b_3 = b_2 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Это подтверждает, что прогрессия убывающая, и знаменатель меньше 1, что соответствует варианту А.

6. Рассмотрим, почему другие варианты неверны. Если бы \(q = 4\) (вариант Б), то \(b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot 4 = 144\), что не равно 9. Если \(q = 27\) (вариант В), то \(b_2 = 36 \cdot 27 = 972\), что также неверно. Если \(q = -27\) (вариант Г), то \(b_2 = 36 \cdot (-27) = -972\), что опять не совпадает с заданным \(b_2 = 9\).

7. Таким образом, единственный правильный вариант — это \(\frac{1}{4}\), так как только при этом значении \(q\) второй член прогрессии равен 9, если первый член равен 36.

8. Заметим, что знаменатель \(q = \frac{1}{4}\) указывает на убывающую прогрессию, где каждый следующий член в 4 раза меньше предыдущего, что логично для перехода от 36 к 9.

9. Итак, мы пришли к выводу, что правильный ответ — вариант А. Это подтверждается как прямым вычислением, так и проверкой через вычисление следующего члена прогрессии.

10. Ответ: А) \(\frac{1}{4}\).