ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 8 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вычислите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии, первый член которой \(b_1 = 2\), а знаменатель \(q = 3\).

А) 56

Б) 80

В) 96

Г) 192

Сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставим значения \(b_1 = 2\), \(q = 3\), \(n = 4\): \(S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 — 1}{3 — 1} = 2 \cdot \frac{81 — 1}{2} = 2 \cdot 40 = 80\). Ответ: Б) 80.

8. Для решения задачи о сумме первых четырёх членов геометрической прогрессии, где первый член \(b_1 = 2\), а знаменатель \(q = 3\), необходимо использовать формулу суммы геометрической прогрессии. Эта формула позволяет найти сумму первых \(n\) членов последовательности, если известны первый член и знаменатель.

Мы знаем, что формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии выглядит как \(S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Здесь \(b_1\) — это первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель, а \(n\) — количество членов, сумму которых нужно найти. В нашей задаче \(b_1 = 2\), \(q = 3\), а \(n = 4\), так как нас просят найти сумму первых четырёх членов.

Подставим данные значения в формулу. Получаем \(S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 — 1}{3 — 1}\). Сначала вычислим значение в числителе: \(3^4 = 81\), значит \(3^4 — 1 = 81 — 1 = 80\). Затем вычислим знаменатель: \(3 — 1 = 2\). Теперь подставим эти значения обратно: \(S_4 = 2 \cdot \frac{80}{2}\).

Упростим выражение. Дробь \(\frac{80}{2} = 40\), поэтому \(S_4 = 2 \cdot 40 = 80\). Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 80.

Для проверки можно вычислить каждый член прогрессии отдельно и сложить их. Первый член \(b_1 = 2\). Второй член находится как \(b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6\). Третий член: \(b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18\). Четвёртый член: \(b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54\). Теперь сложим все члены: \(2 + 6 + 18 + 54 = 80\). Это подтверждает правильность нашего расчёта по формуле.

Ответ на задачу совпадает с вариантом Б. Итак, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 80.