ГДЗ по Алгебре 9 Класс Задание № 6 «Проверьте себя» Номер 9 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), заданной формулой \(n\)-го члена \(a_n = -4n + 13\).

А) -300

Б) -285

В) -275

Г) -250

Для нахождения суммы первых пятнадцати членов арифметической прогрессии с формулой \(a_n = -4n + 13\), вычислим первый член \(a_1 = -4 \cdot 1 + 13 = 9\) и пятнадцатый член \(a_{15} = -4 \cdot 15 + 13 = -47\). Сумма вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), то есть \(S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (9 + (-47)) = 15 \cdot (-19) = -285\).

Ответ: -285

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, заданную формулой \(a_n = -4n + 13\). Наша задача — найти сумму первых пятнадцати членов этой последовательности. Для этого нужно определить первый и последний члены прогрессии, а затем применить формулу суммы арифметической прогрессии.

2. Сначала вычислим первый член последовательности, подставив \(n = 1\) в формулу: \(a_1 = -4 \cdot 1 + 13 = -4 + 13 = 9\). Таким образом, первый член равен 9.

3. Далее найдем пятнадцатый член последовательности, подставив \(n = 15\): \(a_{15} = -4 \cdot 15 + 13 = -60 + 13 = -47\). Итак, пятнадцатый член равен -47.

4. Для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии используется формула \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), где \(n\) — количество членов, \(a_1\) — первый член, а \(a_n\) — последний член. В нашем случае \(n = 15\), \(a_1 = 9\), \(a_{15} = -47\).

5. Подставим значения в формулу: \(S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (9 + (-47))\). Сначала вычислим сумму внутри скобок: \(9 + (-47) = 9 — 47 = -38\).

6. Теперь умножим результат на \(\frac{15}{2}\): \(\frac{15}{2} \cdot (-38) = 15 \cdot \frac{-38}{2} = 15 \cdot (-19)\). Выполним умножение: \(15 \cdot 19 = 285\), а с учетом знака получаем \(-285\).

7. Таким образом, сумма первых пятнадцати членов последовательности равна \(-285\). Это значение соответствует одному из предложенных вариантов ответа.

8. Мы также можем проверить правильность вычислений, используя альтернативную формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\), где \(d\) — разность прогрессии. Разность можно найти из формулы \(a_n\): поскольку \(a_n = -4n + 13\), то \(d = -4\).

9. Подставим значения: \(S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2 \cdot 9 + (15-1) \cdot (-4)) = \frac{15}{2} \cdot (18 + 14 \cdot (-4)) = \frac{15}{2} \cdot (18 — 56) =\)
\(= \frac{15}{2} \cdot (-38) = 15 \cdot (-19) = -285\). Результат совпадает с предыдущим.

10. Итак, после выполнения всех вычислений и проверки мы подтверждаем, что сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии равна \(-285\).

Ответ: -285