ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Да.

Если две плоскости пересекаются только в одной точке, то их пересечение — эта точка. Однако на самом деле такое невозможно: если две плоскости имеют общую точку, то через эту точку можно провести прямую, которая принадлежит обеим плоскостям. Значит, две плоскости либо не имеют общих точек (\(\emptyset\)), либо пересекаются по прямой, а только одну общую точку иметь не могут.

Да.

Рассмотрим две плоскости, например, \(\alpha\) и \(\beta\). Если они имеют общую точку, то эта точка принадлежит обеим плоскостям. Однако через любую точку пространства можно провести бесконечно много прямых, и среди них всегда найдётся прямая, которая лежит одновременно в обеих плоскостях. Это связано с тем, что плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми или одной прямой и точкой вне этой прямой, а значит, если у плоскостей есть общая точка, то через неё можно провести общую прямую.

Если две плоскости совпадают, то их пересечение — вся плоскость, то есть бесконечное множество точек. Если они параллельны и не совпадают, то их пересечение — пустое множество (\(\emptyset\)). Если плоскости пересекаются, то их пересечение — прямая, содержащая бесконечно много точек. Поэтому ситуация, когда две плоскости имеют только одну общую точку, невозможна: либо нет ни одной общей точки (\(\emptyset\)), либо общих точек бесконечно много (прямая или вся плоскость).

Таким образом, утверждение о том, что две плоскости могут иметь только одну общую точку, неверно. В пространстве две плоскости либо не имеют общих точек (\(\emptyset\)), либо пересекаются по прямой, либо совпадают полностью. Только одну общую точку иметь не могут.