ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \(m\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 1.18). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) — плоскости \(\beta\). Постройте линии пересечения плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\alpha\) и с плоскостью \(\beta\).

\(ABC \cap \alpha = AB\), \(ABC \cap \beta = KC\)

Пусть у нас есть две плоскости: \(\alpha\) и \(\beta\), которые пересекаются по прямой \(m\). В плоскости \(\alpha\) находятся точки \(A\) и \(B\), а в плоскости \(\beta\) находится точка \(C\). Требуется найти линии пересечения плоскости \(ABC\) с плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). Так как точки \(A\) и \(B\) лежат на \(\alpha\), то прямая \(AB\) принадлежит обеим плоскостям: и \(\alpha\), и \(ABC\). Следовательно, линия пересечения плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\alpha\) — это прямая \(AB\), то есть \(ABC \cap \alpha = AB\).

Далее рассмотрим пересечение плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\beta\). Точка \(C\) принадлежит плоскости \(\beta\), а также лежит на плоскости \(ABC\) по построению. Прямая \(m\) — это линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому она тоже лежит в обеих этих плоскостях. Пусть точка \(K\) — это точка пересечения прямой \(AB\) с прямой \(m\). Тогда через точки \(K\) и \(C\) можно провести прямую \(KC\), которая лежит в плоскости \(ABC\) и также принадлежит плоскости \(\beta\), так как обе точки лежат на \(\beta\). Значит, линия пересечения плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\beta\) — это прямая \(KC\), то есть \(ABC \cap \beta = KC\).

В итоге, если аккуратно записать оба ответа, то получаем: \(ABC \cap \alpha = AB\), \(ABC \cap \beta = KC\).