Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?
Пусть треугольник \(ABC\), \(O\) — центр описанной окружности, \(I\) — центр вписанной окружности. Прямая, проходящая через \(O\) и \(I\), не обязательно лежит в плоскости треугольника \(ABC\), так как можно провести такую прямую в пространстве, которая пересекает эти точки, но не лежит в плоскости треугольника. Ответ: Нет.
Рассмотрим треугольник \(ABC\), который лежит в некоторой плоскости. Центр вписанной окружности \(I\) и центр описанной окружности \(O\) всегда находятся в этой же плоскости, поскольку определяются только вершинами треугольника \(A\), \(B\), \(C\). Прямая, проходящая через точки \(O\) и \(I\), действительно может быть проведена в плоскости треугольника, и в этом случае она будет лежать в этой плоскости.
Однако в пространстве можно провести множество прямых, проходящих через две фиксированные точки \(O\) и \(I\). Только одна из этих прямых совпадает с отрезком \(OI\) в плоскости треугольника, а остальные могут иметь различные наклоны относительно этой плоскости. Например, если взять точку \(O\) и провести через неё прямую, проходящую через \(I\) и выходящую из плоскости треугольника, то такая прямая не будет лежать в плоскости треугольника \(ABC\).
Следовательно, утверждение, что любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника, неверно. В пространстве существует бесконечно много прямых, проходящих через две точки, и только одна из них лежит в данной плоскости. Поэтому ответ: нет.
