Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
О плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) и прямой \(a\) известно, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(a \subset c\), \(a \cap c = A\). Докажите, что \(A \in \beta\).
Дано: \( \alpha \cap \beta = c \), \( a \subset \alpha \), \( a \cap \beta = M \)
Док-во: \( \alpha \cap \beta = c \Rightarrow c \subset \alpha \), \( c \subset \beta \); \( a \cap \beta = M \Rightarrow M \in \beta \)
\( a \subset \alpha \Rightarrow a \cap c \subset c \)
Из \( a \cap \beta = M \) и \( c \subset \beta \) следует, что \( a \cap c = M \)
Значит, \( M \in c \), а значит, \( M \in \beta \), что и требовалось доказать.
Рассмотрим, что означает условие \( \alpha \cap \beta = c \). Это значит, что пересечение плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) — это прямая \( c \). То есть все точки, которые одновременно лежат и на \( \alpha \), и на \( \beta \), обязательно принадлежат прямой \( c \). Далее, по условию \( a \subset \alpha \), то есть прямая \( a \) полностью лежит в плоскости \( \alpha \). Также известно, что \( a \cap \beta = M \), то есть прямая \( a \) и плоскость \( \beta \) пересекаются в точке \( M \).
Поскольку \( a \subset \alpha \), а \( \alpha \cap \beta = c \), то все точки пересечения прямой \( a \) с плоскостью \( \beta \) должны лежать на пересечении этих двух плоскостей, то есть на прямой \( c \). Но по условию \( a \cap \beta = M \), значит, точка \( M \) принадлежит и прямой \( a \), и плоскости \( \beta \). А так как \( a \subset \alpha \), то \( M \) принадлежит и \( \alpha \). Следовательно, \( M \) принадлежит пересечению \( \alpha \) и \( \beta \), то есть \( M \in c \).
Теперь рассмотрим пересечение прямой \( a \) и прямой \( c \). Поскольку \( a \subset \alpha \) и \( c \subset \alpha \), их пересечение либо пусто (\(\emptyset\)), либо состоит из одной точки. Но мы уже выяснили, что \( M \in a \) и \( M \in c \), значит, \( a \cap c = M \). Таким образом, точка \( M \) принадлежит и прямой \( c \), а значит, по определению \( c \subset \beta \), точка \( M \) принадлежит и плоскости \( \beta \). Всё это доказывает, что \( a \cap c = M \), и \( M \in \beta \).
