ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости. Докажите, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Пусть \(A, B, C\) лежат на одной прямой \(\Rightarrow\) \(A, B, C, D\) лежат в одной плоскости, что противоречит условию \(\Rightarrow\) никакие три точки не лежат на одной прямой

Пусть дано четыре точки: \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), которые не лежат в одной плоскости. Это означает, что невозможно провести одну плоскость, которая содержит все эти четыре точки одновременно. Такое расположение точек называют невзаимно плоским или пространственным, и оно характерно для трехмерного пространства.

Предположим, что существуют три точки из этих четырех, например, \(A\), \(B\) и \(C\), которые лежат на одной прямой. Прямая, проходящая через точки \(A\), \(B\) и \(C\), однозначно определяет плоскость, потому что любая прямая и точка, не лежащая на ней, определяют плоскость. Если добавить к этим точкам четвёртую точку \(D\), то она либо лежит на этой же прямой, либо вне её. Но если \(D\) лежит вне этой прямой, то вместе с прямой \(ABC\) они всё равно будут лежать в одной плоскости, поскольку прямая и точка вне её однозначно задают плоскость. Получается, что все четыре точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат в одной плоскости, что противоречит условию задачи.

Таким образом, если бы какие-либо три из четырёх точек лежали на одной прямой, то все четыре точки обязательно оказались бы в одной плоскости, а это невозможно по условию задачи. Следовательно, никакие три точки из \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не могут лежать на одной прямой, иначе условие о неплоскостности было бы нарушено. Значит, для любых трёх точек из этих четырёх выполняется: они не лежат на одной прямой.