ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если две соседние вершины четырёхугольника и точка пересечения его диагоналей принадлежат одной плоскости, то и две другие вершины принадлежат этой плоскости.

Дано: \(A, B, O \in \ell\).
Докажем: \(C, D \in \ell\).

1. \(B, O \in \ell\), значит, \(BO \subset \ell\). Так как \(D \in BO\), то \(D \in \ell\).
2. \(A, O \in \ell\), значит, \(AO \subset \ell\). Так как \(C \in AO\), то \(C \in \ell\).

Пусть дан четырёхугольник \(ABCD\), у которого диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). По условию задачи точки \(A\), \(B\) и \(O\) лежат в одной плоскости, которую обозначим как \(\ell\). Необходимо доказать, что вершины \(C\) и \(D\) также лежат в этой плоскости \(\ell\).

Рассмотрим сначала диагональ \(AC\). Точки \(A\) и \(O\) обе принадлежат плоскости \(\ell\). По геометрической аксиоме: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Значит, вся прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\ell\). Поскольку точка \(C\) является точкой этой прямой, то она также принадлежит плоскости \(\ell\).

Аналогично рассмотрим диагональ \(BD\). Точки \(B\) и \(O\) принадлежат плоскости \(\ell\), поэтому по той же аксиоме прямая \(BD\) целиком лежит в плоскости \(\ell\). Следовательно, точка \(D\), которая принадлежит прямой \(BD\), тоже находится в плоскости \(\ell\).

Таким образом, все вершины четырёхугольника \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) находятся в одной и той же плоскости \(\ell\), если две соседние вершины и точка пересечения диагоналей лежат в этой плоскости. Значит, весь четырёхугольник \(ABCD\) лежит в одной плоскости.