ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершина \(D\) четырёхугольника \(ABCD\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения сторон \(BA\) и \(BC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Докажите, что точки \(M\), \(D\) и \(K\) лежат на одной прямой.

Доказательство:
\(D \in \alpha\)
\(BA \cap \alpha = M\)
\(BC \cap \alpha = K\)
Значит, \(M, D, K\) лежат на линии пересечения плоскости \(\alpha\) и плоскости \(ABC\), то есть на одной прямой.

Пусть дана плоскость \(\alpha\), точка \(D\) лежит в этой плоскости, а точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат в ней. Прямая \(BA\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\), а прямая \(BC\) пересекает эту же плоскость в точке \(K\). Нужно доказать, что точки \(M\), \(D\), \(K\) лежат на одной прямой.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \(A\), \(B\), \(C\), и \(D\). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость, а через четыре точки, если они не лежат в одной плоскости, можно провести единственную плоскость. В нашем случае точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат в плоскости \(\alpha\), а точка \(D\) лежит в ней. Следовательно, плоскость \(ABCD\) пересекает плоскость \(\alpha\) по некоторой прямой.

Точки пересечения прямых \(BA\) и \(BC\) с плоскостью \(\alpha\) — это точки \(M\) и \(K\) соответственно. Точка \(D\) уже лежит в плоскости \(\alpha\). Получается, что все три точки \(M\), \(D\), \(K\) принадлежат одновременно двум плоскостям: и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABCD\). По свойству пересечения плоскостей, их общие точки лежат на одной прямой, которая и является линией пересечения этих двух плоскостей.

Таким образом, точки \(M\), \(D\), \(K\) лежат на одной прямой, которая есть пересечение плоскости \(\alpha\) и плоскости \(ABCD\). Это доказывает требуемое утверждение.