Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Вершина \(A\) треугольника \(ABC\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а вершины \(B\) и \(C\) лежат вне этой плоскости. Продолжения медиан \(BM\) и \(CN\) треугольника \(ABC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(K\) и \(E\) соответственно. Докажите, что точки \(A\), \(K\) и \(E\) лежат на одной прямой.
Дано: \(A \in \alpha\), \(B, C \notin \alpha\). \(BM \cap \alpha = E\), \(CN \cap \alpha = K\).
Док-ть: \(A, K, E \in l\), где \(l = \alpha \cap \text{плоскость}(BM, CN)\).
Док-во:
\(A \in \alpha\)
\(BM \cap \alpha = E\)
\(CN \cap \alpha = K\)
\(\Rightarrow A, K, E \in l\)
Пусть дана плоскость \(\alpha\), и точка \(A\) лежит на этой плоскости, то есть \(A \in \alpha\). Точки \(B\) и \(C\) не лежат на \(\alpha\), то есть \(B, C \notin \alpha\). Возьмём точку \(M\) — середину отрезка \(AC\), а точку \(N\) — середину отрезка \(AB\). Проведём прямую \(BM\), которая соединяет точку \(B\) с серединой \(M\) отрезка \(AC\), и прямую \(CN\), которая соединяет точку \(C\) с серединой \(N\) отрезка \(AB\). Пусть прямая \(BM\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(E\), а прямая \(CN\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).
Рассмотрим теперь плоскость, проходящую через точки \(B, M, N, C\). Она содержит прямые \(BM\) и \(CN\), а также точки \(M\) и \(N\), которые лежат на отрезках \(AC\) и \(AB\) соответственно. Поскольку \(A\) лежит на \(\alpha\), а \(M\) и \(N\) определяются через \(A\), то плоскость, проходящая через \(BM\) и \(CN\), обязательно пересекает плоскость \(\alpha\) по некоторой прямой \(l\). На этой прямой \(l\) лежат точки пересечения \(BM\) и \(CN\) с плоскостью \(\alpha\), то есть точки \(E\) и \(K\).
Поскольку точка \(A\) тоже принадлежит плоскости \(\alpha\), а \(M\) и \(N\) определяются как середины отрезков с концом в \(A\), то точка \(A\) также принадлежит прямой \(l\), по которой плоскость \(BMN\) пересекает плоскость \(\alpha\). Таким образом, точки \(A\), \(K\), \(E\) лежат на одной прямой \(l\), которая является линией пересечения плоскости \(\alpha\) и плоскости, проходящей через \(BM\) и \(CN\).
