ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

О плоскостях \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) известно, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(\beta \cap \gamma = a\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(a \cap c = M\). Докажите, что \(M \in b\).

Дано: \(\alpha \cap \beta = c\), \(\beta \cap \gamma = a\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(a \cap c = M\)

Докажем, что \(M \in b\):

\(\alpha \cap \beta = c \Rightarrow c \subset \alpha, c \subset \beta\)

\(\beta \cap \gamma = a \Rightarrow a \subset \beta, a \subset \gamma\)

\(\alpha \cap \gamma = b \Rightarrow b \subset \alpha, b \subset \gamma\)

\(a \cap c = M \Rightarrow M \subset a, M \subset c\)

\(a \subset \beta, c \subset \beta \Rightarrow M \subset \beta\)

\(a \subset \gamma \Rightarrow M \subset \gamma\)

\(c \subset \alpha \Rightarrow M \subset \alpha\)

\(M \subset \alpha, M \subset \gamma \Rightarrow M \subset b\)

Ответ: \(M \in b\)

Рассмотрим, что означает каждое из данных условий. Если \(\alpha \cap \beta = c\), это значит, что множество \(c\) состоит из всех тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству \(\alpha\), и множеству \(\beta\). То есть, любой элемент из \(c\) обязательно содержится и в \(\alpha\), и в \(\beta\). Аналогично, \(\beta \cap \gamma = a\) означает, что множество \(a\) состоит из всех элементов, которые одновременно принадлежат и \(\beta\), и \(\gamma\). То есть, каждый элемент из \(a\) содержится и в \(\beta\), и в \(\gamma\). Точно так же, \(\alpha \cap \gamma = b\) — это множество всех элементов, которые одновременно входят в \(\alpha\) и \(\gamma\).

Теперь рассмотрим пересечение \(a\) и \(c\): \(a \cap c = M\). Это означает, что \(M\) — это множество всех элементов, которые одновременно принадлежат и \(a\), и \(c\). Но каждый элемент из \(a\) содержится в \(\beta\) и \(\gamma\), а каждый элемент из \(c\) содержится в \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, любой элемент из \(M\) обязательно принадлежит \(\beta\), потому что и \(a\), и \(c\) являются подмножествами \(\beta\). Также любой элемент из \(M\) содержится в \(\gamma\), потому что \(a \subset \gamma\), а из \(c\) это напрямую не следует, но так как \(M \subset a\), то \(M\) точно в \(\gamma\). Кроме того, любой элемент из \(M\) принадлежит \(\alpha\), потому что \(c \subset \alpha\), а \(M \subset c\), следовательно, \(M\) также подмножество \(\alpha\).

Таким образом, любой элемент из \(M\) одновременно принадлежит и \(\alpha\), и \(\gamma\). По определению, множество всех таких элементов — это \(b\), так как \(\alpha \cap \gamma = b\). Следовательно, \(M\) является подмножеством \(b\), то есть все элементы из \(M\) содержатся в \(b\). Это значит, что \(M \subset b\), а значит, \(M \in b\), что и требовалось доказать.