ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пять точек, являющиеся серединами звеньев замкнутой ломаной \(ABCDE\), принадлежат плоскости \(\alpha\). Докажите, что точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) принадлежат этой же плоскости.

Так как ломаная замкнутая, то если середины принадлежат \(\alpha\), то и точки \(A, B, C, D, E \in \alpha\).

Пусть замкнутая ломаная состоит из точек \(A, B, C, D, E\), и пусть середины звеньев \(AB, BC, CD, DE, EA\) лежат в плоскости \(\alpha\). Обозначим эти середины как \(M_1, M_2, M_3, M_4, M_5\). Тогда \(M_1 = \frac{A+B}{2}\), \(M_2 = \frac{B+C}{2}\), \(M_3 = \frac{C+D}{2}\), \(M_4 = \frac{D+E}{2}\), \(M_5 = \frac{E+A}{2}\). Так как все \(M_i\) лежат в одной плоскости, их координаты удовлетворяют уравнению плоскости: \(ax + by + cz = d\).

Рассмотрим, что если середины отрезков лежат в одной плоскости, то их суммы тоже лежат в этой плоскости. Сложим выражения для всех середины: \(M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + M_5 = \frac{A+B}{2} + \frac{B+C}{2} + \frac{C+D}{2} + \frac{D+E}{2} + \frac{E+A}{2}\). Преобразуем: получаем \(\frac{2A + 2B + 2C + 2D + 2E}{2} = A + B + C + D + E\). Значит, сумма всех вершин также лежит в плоскости \(\alpha\).

Если сумма точек лежит в плоскости, и каждая вершина участвует в двух соседних серединах, то можно выразить каждую вершину через середины и другие вершины. Например, \(A = 2M_1 — B\), но и \(A = 2M_5 — E\). Так как все середины лежат в плоскости \(\alpha\), то и все вершины \(A, B, C, D, E\) выражаются как линейные комбинации точек, лежащих в плоскости, а значит, сами принадлежат плоскости \(\alpha\).

Таким образом, если середины всех звеньев замкнутой ломаной принадлежат плоскости \(\alpha\), то все вершины этой ломаной \(A, B, C, D, E\) тоже принадлежат плоскости \(\alpha\).