Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагональ \(AC\) равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(AB = CD\)) делит угол \(BAD\) пополам (рис. 1.20). Точка \(E\) — середина отрезка \(AB\). Прямая, проходящая через точку \(E\) параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок \(AC\) в точке \(K\), а отрезок \(CD\) — в точке \(F\). Найдите периметр трапеции \(ABCD\), если \(EK = 3\) см, \(KF = 5\) см.
Дано: \(ABCD\) — равнобокая трапеция, \(AB = CD\), \(E\) — середина \(AB\), \(EK = 3\) см, \(KF = 5\) см.
Так как \(EF\) — средняя линия трапеции, то \(EF = \frac{BC + AD}{2}\).
\(EF = EK + KF = 3 + 5 = 8\) см.
\(BC + AD = 2 \cdot EF = 2 \cdot 8 = 16\) см.
\(BC = 2 \cdot EK = 2 \cdot 3 = 6\) см.
\(AD = 2 \cdot KF = 2 \cdot 5 = 10\) см.
Периметр: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 6 + 10 = 16\) см.
В равнобокой трапеции \(ABCD\) известно, что боковые стороны равны: \(AB = CD\). Пусть основания трапеции — это \(BC\) и \(AD\), а боковые стороны — \(AB\) и \(CD\). Точка \(E\) — середина боковой стороны \(AB\). Через точку \(E\) проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает диагональ \(AC\) в точке \(K\) и основание \(CD\) в точке \(F\). По условию задачи отрезки \(EK = 3\) см и \(KF = 5\) см. Значит, вся средняя линия \(EF = EK + KF = 3 + 5 = 8\) см. Средняя линия трапеции всегда равна полусумме оснований, то есть \(EF = \frac{BC + AD}{2}\).
Теперь выразим сумму оснований через длину средней линии. Так как \(EF = 8\) см, то \(BC + AD = 2 \cdot 8 = 16\) см. Основания можно найти отдельно, используя свойства средней линии и параллельности. Так как \(EK\) и \(KF\) — части средней линии, параллельной основаниям, длина каждого основания выражается через соответствующие части средней линии: \(BC = 2 \cdot EK = 2 \cdot 3 = 6\) см и \(AD = 2 \cdot KF = 2 \cdot 5 = 10\) см. Это следует из свойств трапеции: если провести через середину боковой стороны прямую, параллельную основаниям, то она делит трапецию на два отрезка, каждый из которых связан с основанием через коэффициент 2.
Периметр трапеции вычисляется по формуле: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\). В равнобокой трапеции \(AB = CD\), но их длины не даны в задаче и не требуются для вычисления периметра, так как по условиям задачи основания полностью определяют периметр. Следовательно, \(P_{ABCD} = BC + AD = 6 + 10 = 16\) см. Таким образом, искомый периметр трапеции равен 16 см.
