ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 1.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Изобразите плоскость \(\alpha\) и прямую \(b\), пересекающую данную плоскость в точке \(A\). Запишите это с помощью соответствующих символов. Сколько точек прямой \(b\) принадлежит плоскости \(\alpha\)?

Пусть \(b\) — прямая, \(\alpha\) — плоскость. Если \(b\) пересекает \(\alpha\) в точке \(A\), то \(b \cap \alpha = A\).

Только одна точка \(A\) принадлежит и прямой \(b\), и плоскости \(\alpha\), то есть \(A \in \alpha\).

Рассмотрим ситуацию, когда дана плоскость \(\alpha\) и прямая \(b\), которая пересекает эту плоскость. Пересечение прямой и плоскости — это множество всех точек, которые одновременно принадлежат и прямой, и плоскости. Если прямая не лежит в плоскости, то их пересечение может быть либо пустым множеством (\(\emptyset\)), либо состоять из одной точки. В данном случае по условию прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\).

Обозначим точку пересечения как \(A\). Тогда можно записать: \(b \cap \alpha = A\). Это означает, что единственная точка, которая принадлежит и прямой \(b\), и плоскости \(\alpha\), — это точка \(A\). В терминах принадлежности: \(A \in b\) и одновременно \(A \in \alpha\). Все остальные точки прямой \(b\) не принадлежат плоскости \(\alpha\).

Следовательно, если прямая \(b\) пересекает плоскость \(\alpha\) в одной точке \(A\), то количество точек прямой \(b\), принадлежащих плоскости \(\alpha\), равно одному. То есть только точка \(A\) принадлежит одновременно и прямой \(b\), и плоскости \(\alpha\).