Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 10.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 10.13 изображён куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро которого равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(DD_1\).
Дано ребро куба равно 2 см. Прямые \(AB\) и \(DD_1\) скрещивающиеся.
Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле
\(d = \frac{|(\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}))|}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}|}\).
Векторы:
\(\overrightarrow{AB} = (2,0,0)\),
\(\overrightarrow{DD_1} = (0,0,2)\),
\(\overrightarrow{AD} = (0,2,0)\).
Вычисляем векторное произведение
\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1} = (0,-4,0)\).
Скалярное произведение
\(\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}) = 2 \times (-4) = -8\).
Модуль вектора
\(|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}| = 4\).
Подставляем в формулу расстояния
\(d = \frac{8}{4} = 2\).
Ответ: 2 см.
Куб с ребром 2 см имеет все ребра длиной 2 см и расположенные вдоль осей координат. Рассмотрим прямые \(AB\) и \(DD_1\). Прямая \(AB\) лежит на нижней грани куба и направлена вдоль оси \(x\), а прямая \(DD_1\) — вертикальное ребро, направленное вдоль оси \(z\). Эти прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, поэтому они скрещивающиеся. Чтобы найти расстояние между ними, нужно вычислить длину общего перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую.
Для этого используем векторный метод. Обозначим векторы направлений прямых: \(\overrightarrow{AB} = (2,0,0)\), так как длина ребра 2 см вдоль оси \(x\), и \(\overrightarrow{DD_1} = (0,0,2)\), так как ребро вдоль оси \(z\) также длиной 2 см. Вектор \(\overrightarrow{AD}\), соединяющий точки \(A\) и \(D\), направлен вдоль оси \(y\) и равен \(\overrightarrow{AD} = (0,2,0)\). Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле \(d = \frac{|(\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}))|}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}|}\).
Вычислим векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}\). По правилу вычисления определителя:
\(
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix} = (0 \cdot 2 — 0 \cdot 0)\mathbf{i} — (2 \cdot 2 — 0 \cdot 0)\mathbf{j} +\)
\(+ (2 \cdot 0 — 0 \cdot 0)\mathbf{k} = (0,-4,0).
\)
Далее находим скалярное произведение \(\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}) = (0,2,0) \cdot (0,-4,0) = 2 \times (-4) = -8\). Модуль вектора \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DD_1}\) равен \(\sqrt{0^2 + (-4)^2 + 0^2} = 4\). Подставляя эти значения в формулу для расстояния, получаем \(d = \frac{|-8|}{4} = \frac{8}{4} = 2\). Таким образом, расстояние между прямыми \(AB\) и \(DD_1\) равно 2 см.
